[论文解读] An Optimal Algorithm for Online Multiple Knapsack

Marcin Bieńkowski, Maciej Pacut+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Optimization and Search Problems参考文献 17被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于多重背包问题的确定性在线算法，其竞争比为 $1/(1 + \ln 2) - O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$，超越了长期存在的 FirstFit 算法的 0.5 竞争比下界。该算法采用基于阈值的策略处理大件物品，并通过一种新颖的势能函数分析来平衡接受与拒绝，证明了其在低阶项范围内的最优性。

ABSTRACT

In the online multiple knapsack problem, an algorithm faces a stream of items, and each item has to be either rejected or stored irrevocably in one of $n$ bins (knapsacks) of equal size. The gain of an~algorithm is equal to the sum of sizes of accepted items and the goal is to maximize the total gain. So far, for this natural problem, the best solution was the $0.5$-competitive algorithm First Fit (the result holds for any $n \geq 2$). We present the first algorithm that beats this ratio, achieving the competitive ratio of $1/(1+\ln(2))-O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$. Our algorithm is deterministic and optimal up to lower-order terms, as the upper bound of $1/(1+\ln(2))$ for randomized solutions was given previously by Cygan et al. [TOCS 2016]. Furthermore, we show that the lower-order term is inevitable for deterministic algorithms, by improving their upper bound to $1/(1+\ln(2))-O(1/n)$.

研究动机与目标

• 为在线多重背包问题的竞争比差距提供填补，此前的研究仅实现了 0.5 的确定性算法界。
• 设计一种确定性在线算法，使其竞争比超过长期保持的 0.5 界限。
• 通过匹配随机算法已知的上界 $1/(1 + \ln 2) \approx 0.5906$，证明新算法在低阶项范围内达到最优。
• 通过改进的对手构造，证明 $O(1/n)$ 项在确定性算法中不可避免。
• 通过复杂势能函数提供紧致分析，该函数综合考虑了物品大小、箱子利用率和策略性阈值。

提出的方法

• 将物品划分为大件（大小 > 1/2）、中件（大小 ∈ [φ, 1/2]）和小件（大小 < φ），其中 φ 定义为临界阈值。
• 引入上升阈值算法（RTA），为第 i 个被接受的大件物品设置非递减的阈值函数 $f(i/n)$，以平衡过度接受与接受不足。
• 采用势能函数 $\Phi$，结合已装入物品的收益、箱子利用率以及部分填充箱子的惩罚项 $\xi(x)$，以指导决策。
• 使用分段定义的函数 $\xi(x)$，在 [φ, 1/3] 和 [1/3, 1/2] 上为线性函数，其系数由最优值 $R = 1/(1 + \ln 2)$ 推导得出。
• 通过多个引理应用新颖的势能函数分析，证明算法在所有输入类型下均保持竞争比 $R - O(1/n)$。
• 对势能函数使用方向导数论证，表明其在特定路径上单调递减，从而证明算法不会低于目标竞争比。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种确定性在线算法，使其在多重背包问题上的竞争比严格大于 0.5？
• RQ2 随机算法已知的上界 $1/(1 + \ln 2) \approx 0.5906$ 是否也对确定性算法是紧致的？
• RQ3 为实现接近 $1/(1 + \ln 2)$ 的竞争比，势能函数需具备哪些结构性特征？
• RQ4 能否证明确定性算法的竞争比中 $O(1/n)$ 项是不可避免的？
• RQ5 如何将大件物品的阈值策略与改进的势能函数结合，以超越 FirstFit 的性能？

主要发现

• 所提出的算法实现了竞争比 $1/(1 + \ln 2) - O(1/n) \approx 0.5906 - O(1/n)$，这是首个突破 0.5 界限的确定性在线算法。
• 该算法在低阶项范围内达到最优，与随机算法已知的上界 $1/(1 + \ln 2)$ 完全匹配。
• 通过改进的对手构造，证明了竞争比中的 $O(1/n)$ 项对确定性算法不可避免。
• 势能函数分析（涉及 $\xi(x)$、$P(y)$ 和 $Q(y)$）在所有输入配置下证明竞争比中起着关键作用。
• 对势能函数的方向导数论证表明，函数值沿特定路径递减，确保了算法的竞争力。
• 该算法在所有物品大小类别中表现稳健，通过分段线性函数和不等式，对中件和大件物品均建立了紧致边界。