[论文解读] An Optimal Algorithm for Sorting in Trees

Jishnu Roychoudhury, Jatin Yadav|arXiv (Cornell University)|May 31, 2022

Algorithms and Data Compression被引用 2

一句话总结

本文提出了一种用于在树偏序集中排序元素的随机化算法，其最坏情况下的期望查询复杂度和时间复杂度为 O(dn log n)，其中 d 为最大节点度数。该算法在有界度数的树结构中达到最优，通过消除 log²n 因子，改进了先前的复杂度界限，并为确定性与随机化算法建立了新的 Ω(dn + n log n) 下界，同时首次提出了针对树偏序集的确定性算法，其时间复杂度优于现有的通用偏序集排序方法。

ABSTRACT

Sorting is a foundational problem in computer science that is typically employed on sequences or total orders. More recently, a more general form of sorting on partially ordered sets (or posets), where some pairs of elements are incomparable, has been studied. General poset sorting algorithms have a lower-bound query complexity of Ω(wn + n log n), where w is the width of the poset. We consider the problem of sorting in trees, a particular case of partial orders. This problem is equivalent to the problem of reconstructing a rooted directed tree from path queries. We parametrize the complexity with respect to d, the maximum degree of an element in the tree, as d is usually much smaller than w in trees. For example, in complete binary trees, d = Θ(1), w = Θ(n). The previous known upper bounds are O(dn log² n) [Wang and Honorio, 2019] and O(d² n log n) [Ramtin Afshar et al., 2020], and a recent paper proves a lower bound of Ω(dn log_d n) [Paul Bastide, 2023] for any Las Vegas randomized algorithm. In this paper, we settle the complexity of the problem by presenting a randomized algorithm with worst-case expected O(dnlog_d n) query and time complexity.

研究动机与目标

• 为解决现有偏序集排序算法在宽度 w 较大时性能下降的低效问题，特别是在树形偏序结构中。
• 通过将最大度数 d 作为关键参数，设计一种高效的树偏序集排序算法，该参数通常远小于宽度 w。
• 在有界度数的树结构中实现最优的查询与时间复杂度，优于先前的 O(dn log²n) 上界。
• 为树偏序集排序中的随机化与确定性算法建立更紧致的下界。
• 提出首个时间复杂度优于现有通用偏序集排序算法的树偏序集确定性算法。

提出的方法

• 该算法基于树的重心，采用分治策略递归地划分并排序子树。
• 通过随机采样元素来估计相对顺序，并高效地指导比较操作。
• 在执行过程中动态发现最大度数 d，无需将其作为输入提供。
• 算法维护一个部分有序结构，并通过有针对性的比较逐步解决不可比元素对。
• 理论分析结合了概率论论证与树分解技术，以界定期望的查询与时间复杂度。
• 通过对抗性构造推导下界，表明区分结构相似的树至少需要 Ω(dn) 和 Ω(n log n) 次查询。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种随机化算法，使树偏序集排序的查询复杂度达到 O(dn log n)，优于先前的 O(dn log²n) 上界？
• RQ2 是否可能为树偏序集排序的查询复杂度建立比现有通用偏序集界限更紧致的下界？
• RQ3 能否设计一种时间复杂度优于现有通用偏序集排序算法的树偏序集确定性算法？
• RQ4 识别给定偏序集是否为树偏序集所需的最低查询复杂度是多少？
• RQ5 为何最大度数 d 比宽度 w 更适合作为分析树偏序集排序复杂度的有效参数？

主要发现

• 所提出的随机化算法在最坏情况下的期望查询与时间复杂度为 O(dn log n)，对有界度数的树结构达到最优。
• 本文为任意随机化或确定性算法在树偏序集排序中的最坏情况查询复杂度建立了新的 Ω(dn + n log n) 下界。
• 该算法将上界与下界之间的差距从 O(d log²n) 缩小至 O(log n)，实现了对有界度数树结构的最优性。
• 首次提出了针对树偏序集的确定性算法，其时间复杂度为 O(wn + n log n)，低于现有通用偏序集排序算法。
• 识别一个偏序集是否为树偏序集在最坏情况下需要 Ω(n²) 次查询，表明为实现高效排序，树结构必须预先知晓。
• 该算法在执行过程中动态发现最大度数 d，使其比先前需要预先输入 d 的方法更具实用性与灵活性。