[论文解读] An Optimal Algorithm for the Separating Common Tangents of two Polygons

Mikkel Abrahamsen|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文提出了一种线性时间、常数空间的算法，用于计算作为只读顶点数组给出的两个简单多边形的分离公共切线。该算法使用双指针遍历检测不相交的凸包，并在存在分离切线时返回该切线，从而在这些约束条件下首次提供了该问题的最优解。该方法还可扩展至凸包不相交时的外公共切线。

ABSTRACT

We describe an algorithm for computing the separating common tangents of two simple polygons using linear time and only constant workspace. A tangent of a polygon is a line touching the polygon such that all of the polygon lies to the same side of the line. A separating common tangent of two polygons is a tangent of both polygons where the polygons are lying on different sides of the tangent. Each polygon is given as a read-only array of its corners. If a separating common tangent does not exist, the algorithm reports that. Otherwise, two corners defining a separating common tangent are returned. The algorithm is simple and implies an optimal algorithm for deciding if the convex hulls of two polygons are disjoint or not. This was not known to be possible in linear time and constant workspace prior to this paper. An outer common tangent is a tangent of both polygons where the polygons are on the same side of the tangent. In the case where the convex hulls of the polygons are disjoint, we give an algorithm for computing the outer common tangents in linear time using constant workspace.

研究动机与目标

• 开发一种算法，在仅使用常数空间的前提下，以线性时间计算两个简单多边形的分离公共切线。
• 解决长期悬而未决的问题：仅使用 O(log n) 位内存判断两个多边形的凸包是否不相交。
• 将该方法扩展至在凸包不相交时计算外公共切线，同时保持线性时间与常数空间复杂度。
• 提供分离公共切线算法正确性的简化且正确的证明，修正先前版本中的缺陷。

提出的方法

• 该算法使用两组并行的双指针（s0, s1）和（t0, t1），以同步方式遍历两个多边形的顶点。
• 在每次迭代中，利用基于叉积的 T(a,b,c) 函数，检查下一个顶点相对于由 (p0[s0], p1[s1]) 定义的当前临时直线的方向。
• 若某顶点位于临时直线的错误一侧，算法通过推进对应 s 指针并重置另一多边形的遍历指针来更新切线候选。
• 该算法维护不变量，确保临时直线始终是分离切线的有效候选，并在找到正确切线或排除不相交性时终止。
• 对于外公共切线，采用类似的双指针方法，但终止条件和更新规则不同，以确保两个多边形位于切线的同一侧。
• 正确性依赖于几何不变量和凸包性质，特别是：存在分离切线当且仅当凸包不相交。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在仅使用 O(log n) 位工作空间的前提下，以线性时间解决两个简单多边形的分离公共切线计算问题？
• RQ2 是否可能仅使用常数空间和线性时间判断两个多边形的凸包是否不相交？
• RQ3 保证双指针算法在公共切线计算中正确的最小几何不变量集合是什么？
• RQ4 在凸包不相交时，该算法如何在相同资源约束下被调整以计算外公共切线？
• RQ5 该算法能否在不增加空间或时间复杂度的前提下，对重叠或嵌套的凸包保持鲁棒性？

主要发现

• 该算法以 O(n0 + n1) 时间复杂度正确计算出两个简单多边形的分离公共切线，且仅使用 O(log n) 位工作空间。
• 该算法首次提供了在这些约束下判断两个多边形凸包是否不相交的最优解，此前该问题在这些条件下未被解决。
• 该算法能正确识别不存在分离公共切线的情况，这恰好对应于凸包相交或嵌套的情形。
• 对于外公共切线，当凸包不相交时，该算法以线性时间与常数空间运行，扩展了该方法的适用范围。
• 该算法的正确性通过几何不变量和凸包性质得到证明，且相比初步版本提供了更简化的证明。
• 该方法具有鲁棒性和高效性，避免了显式计算凸包，从而节省了 O(n) 的额外空间。