[论文解读] An Optimal Choice Dictionary

Hagerup, Torben|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2017

Algorithms and Data Compression参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种外部大小的原子选择字典，仅使用 n + 1 位空间——当 w = o(n) 时为最优——并支持所有操作（包括选择）在常数时间内完成。其通过结合位向量表示与一种新颖的非零段追踪数据结构实现，利用带有屏障链接机制的紧凑数组，最小化空间占用并保持 O(1) 操作性能。

ABSTRACT

A c-color choice dictionary of size n in N is a fundamental data structure in the development of space-efficient algorithms that stores the colors of n elements and that supports operations to get and change the color of an element as well as an operation choice that returns an arbitrary element of that color. For an integer f>0 and a constant c=2^f, we present a word-RAM algorithm for a c-color choice dictionary of size n that supports all operations above in constant time and uses only nf+1 bits, which is optimal if all operations have to run in o(n/w) time where w is the word size. In addition, we extend our choice dictionary by an operation union without using more space.

研究动机与目标

• 设计一种空间高效的选择字典，支持所有核心操作在常数时间内完成。
• 将空间使用量最小化至当 w = o(n) 时的理论下界 n + 1 位。
• 简化并改进先前的选择字典，后者为参数 t 需要 O(n(t/w)^t) 的额外空间。
• 在仅使用极少额外状态的前提下，支持对客户端集合 S 的常数时间遍历。

提出的方法

• 将客户端集合 S 表示为一个 n 位的位向量，并额外使用 1 位存储全局状态。
• 将位向量划分为大小为 2^b 的段，每段由数组 A 中的一个整数 ai 表示，A 的大小为 N。
• 使用基于屏障的链表追踪非零段，维护一个指针 k 指向第一个非零段。
• 采用紧凑表示，将数组条目中未使用的位用于存储辅助状态（例如 k），将空间减少至 2bN + 1 位。
• 使用位操作和字-RAM 操作（例如 popcount、移位）在 O(1) 时间内定位第一个置位。
• 应用自定界编码（例如 Elias gamma 编码）将全集大小 n 嵌入数据结构中，实现自包含操作。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种仅使用 n + 1 位空间的选择字典，同时支持所有操作在常数时间内完成？
• RQ2 当字长 w 满足 w = o(n) 时，是否能够实现选择字典的空间最优性？
• RQ3 如何在仅使用极少额外空间的前提下，实现选择操作在 O(1) 时间内完成？
• RQ4 能否仅使用 O(log n) 额外状态位，支持对客户端集合的常数时间遍历？
• RQ5 使选择字典实现自包含所需的最小空间开销是多少？

主要发现

• 所提出的选项字典在静止状态下仅使用 n + 1 位空间，当 w = o(n) 时已被证明为最优。
• 所有操作——插入、删除、包含、选择——均以 O(1) 时间执行，使该数据结构具有原子性。
• 通过仅使用 ⌈log₂(n+1)⌉ 个额外状态位，该数据结构支持对客户端集合 S 的常数时间遍历。
• 通过重用数组条目中未使用的位来存储辅助状态（如第一个非零段的位置），实现了 n + 1 位的空间界限。
• 通过使用 Elias gamma 编码将全集大小 n 嵌入数据结构中，可构建自包含变体，总空间为 n + 2⌈log₂(n+1)⌉ 位。
• 该构造比先前的解决方案更简单且更高效，后者为参数 t 需要 O(n(t/w)^t) 的额外空间。