[论文解读] An Optimal Control Theory for the Traveling Salesman Problem and Its Variants

I. Michael Ross, Ronald J. Proulx+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2020

Transportation and Mobility Innovations参考文献 26被引用 7

一句话总结

本文提出了一种针对旅行商问题（TSP）及其变体的新型最优控制框架，通过将顶点和弧建模为连续时间轨迹上的泛函，实现了对运动限制、禁入区域和时间窗等动态约束的自然整合。该方法通过强制轨迹连续性，消除了对离散子环消除约束的需求，并通过数值结果证明了其在具有非凸和动态约束的复杂现实路由问题中的计算可行性。

ABSTRACT

We show that the traveling salesman problem (TSP) and its many variants may be modeled as functional optimization problems over a graph. In this formulation, all vertices and arcs of the graph are functionals; i.e., a mapping from a space of measurable functions to the field of real numbers. Many variants of the TSP, such as those with neighborhoods, with forbidden neighborhoods, with time-windows and with profits, can all be framed under this construct. In sharp contrast to their discrete-optimization counterparts, the modeling constructs presented in this paper represent a fundamentally new domain of analysis and computation for TSPs and their variants. Beyond its apparent mathematical unification of a class of problems in graph theory, the main advantage of the new approach is that it facilitates the modeling of certain application-specific problems in their home space of measurable functions. Consequently, certain elements of economic system theory such as dynamical models and continuous-time cost/profit functionals can be directly incorporated in the new optimization problem formulation. Furthermore, subtour elimination constraints, prevalent in discrete optimization formulations, are naturally enforced through continuity requirements. The price for the new modeling framework is nonsmooth functionals. Although a number of theoretical issues remain open in the proposed mathematical framework, we demonstrate the computational viability of the new modeling constructs over a sample set of problems to illustrate the rapid production of end-to-end TSP solutions to extensively-constrained practical problems.

研究动机与目标

• 开发一种面向TSP及其变体的连续时间、泛函优化框架，超越离散优化公式化方法。
• 解决在定义非点状城市（如邻域、禁入区域和时间窗）之间距离时所面临的根本性挑战。
• 将多种TSP变体——如带邻域、禁入区域、时间窗和收益的TSP——统一于单一连续时间最优控制公式下。
• 在自然数学空间中直接建模特定应用的动力学，如车辆运动学和连续时间成本/收益泛函。
• 通过数值案例研究，证明使用该新框架求解高度约束的TSP问题在计算上的可行性。

提出的方法

• 将TSP建模为图上的泛函优化问题，其中顶点和弧是将可测函数映射到实数的泛函。
• 将城市表示为集合（例如邻域），并通过下确界距离泛函定义城市间距离，如 $ d(A,B) = \min_{x\in A, y\in B} \|x - y\|_2 $，以捕捉进出点依赖关系。
• 将TSP表述为一个最优控制问题，其中状态变量表示位置和速度，控制输入表示加速度，采用双积分器模型。
• 通过轨迹平滑性强制巡回路径的连续性，自然地消除了子环违规，而无需显式组合约束。
• 通过控制限幅引入速度和加速度的 $ \ell_2 $ 或 $ \ell_\infty $ 有界约束，以建模真实的车辆动力学。
• 使用数值方法求解所得的非光滑最优控制问题，解以连续、曲线形巡回路径的形式可视化，穿越城市和禁入区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何定义两个非点状城市（如邻域）之间的距离，以尊重进出点并避免巡回中出现不连通段？
• RQ2 如何将速度和加速度限制等动态约束自然地整合到TSP公式中，以反映现实世界中的车辆动力学？
• RQ3 禁入区域和非凸允许区域如何影响TSP变体中的最优巡回序列和路径几何？
• RQ4 连续时间最优控制理论能否消除TSP公式中对离散子环消除约束的需求？
• RQ5 运动约束的变化（例如 $ \ell_2 $ 与 $ \ell_\infty $）如何影响最优巡回序列和路径曲率？

主要发现

• 所提出的框架成功生成了尊重复杂约束（如禁入邻域和运动限制）的连续、曲线形巡回，避免了对不连通段进行后处理的需要。
• 与 $ \ell_\infty $-约束版本相比，$ \ell_2 $-约束版本（fastCEMTSPFN-2）产生了更平滑、更真实的转弯，表明控制范数选择对路径几何具有显著影响。
• 在 $ \ell_\infty $ 和 $ \ell_2 $ 公式之间，城市访问顺序发生了显著变化，表明运动约束可以非平凡地影响路径规划决策。
• 添加多个非凸禁入区域显著改变了最优巡回序列，表明该框架对复杂空间约束具有高度敏感性。
• 该方法以计算上可行的方式，为包含12个邻域、重叠禁入区域和非凸区域的TSP变体生成了可行的端到端解决方案。
• 该框架表明，运动约束的微小变化（例如 $ \ell_2 $ 与 $ \ell_\infty $）可能导致显著不同的、更高效的路径解决方案，暗示在系统级优化中具有战略优势。