[论文解读] An optimal quantum algorithm to approximate the mean and its application for approximating the median of a set of points over an arbitrary distance

Gilles Brassard, Frédéric Dupuis+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 9被引用 30

一句话总结

本文提出了一种渐近最优的量子算法，用于使用振幅估计算法近似黑箱函数的均值，实现误差界为 O(1/t)，查询复杂度为 O(t√N log N)。该算法被应用于开发一种量子算法，用于在任意距离函数下近似一组点的中位数，将经典复杂度从 O(N²) 降低至 O(t√N log N) 次距离预言机调用，成功概率至少为 2/3。

ABSTRACT

We describe two quantum algorithms to approximate the mean value of a black-box function. The first algorithm is novel and asymptotically optimal while the second is a variation on an earlier algorithm due to Aharonov. Both algorithms have their own strengths and caveats and may be relevant in different contexts. We then propose a new algorithm for approximating the median of a set of points over an arbitrary distance function.

研究动机与目标

• 通过构建渐近最优的算法，弥合已知量子均值估计下界与上界之间的差距。
• 在距离由任意黑箱函数给出的情况下，开发一种用于近似点集中位数的量子算法。
• 结合振幅估计算法与最小值查找技术，实现中位数计算相对于经典方法的二次加速。
• 在中位数近似背景下，分析两种不同量子均值估计算法之间的性能权衡。

提出的方法

• 提出 mean1，一种基于振幅估计的渐近最优量子均值估计算法，经过 t 次查询后误差界为 O(1/t)。
• 引入 mean2，作为 Aharonov 算法的一种变体，尽管误差界不够精确，但在特定场景下可能具有优势。
• 应用多数算法（定理 2.5）以增强所有点均值估计的置信度，确保以高概率实现同步精度。
• 使用 Dürr 和 Høyer 的量子最小值查找算法识别平均距离最小的点，从而定义中位数。
• 将均值估计（通过 mean1 或 mean2 实现）与最小值查找相结合，在叠加态中计算中位数，随后测量结果。
• 采用振幅估计算法估计每个点到其余所有点的距离函数的均值，然后找出这些均值中的最小值。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在近似黑箱函数均值时实现渐近最优？
• RQ2 在实际应用中，mean1 与 mean2 的误差和查询复杂度如何比较？在何种场景下各自表现更优？
• RQ3 能否将均值估计的量子加速优势用于实现任意距离函数下中位数计算的次二次量子算法？
• RQ4 数据分布与距离结构对中位数查找算法性能的影响是什么？

主要发现

• 所提出的 mean1 算法在 O(t√N log N) 次查询下实现 O(1/t) 的误差界，成功弥合了均值估计已知下界与上界之间的差距。
• 使用 mean1 的中位数查找算法需要 O(t√N log N) 次距离预言机调用，并以至少 2/3 的概率输出一个点 j，使得 |dj − dmin| ∈ O(1/t)。
• 当使用 mean2 时，误差界为 O(∑i=1ℓ √mi · 2−i)，且算法仅需 O(N log N) 次调用，与 t 无关。
• 中位数算法的成功概率至少为 2/3，源于最小值查找的 3/4 成功率与多数放大步骤的结合。
• 该算法在一般情况下实现了相对于经典 O(N²) 复杂度的二次量子加速，适用于任意距离函数。
• 中位数算法的性能取决于均值估计子程序的表现，而这些子程序的表现又依赖于数据分布与距离结构。