[论文解读] An Optimal-Time Construction of Euclidean Sparse Spanners with Tiny Diameter

Shay Solomon|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文提出了一种最优时间复杂度的算法，用于构建具有极小直径的欧几里得稀疏聚类图：对于任意 $k \geq 4$，该算法在 $O(n\log n)$ 时间内构造出一个 $(1+\epsilon)$-聚类图，其直径至多为 $k$，且边数为 $O(n\alpha_k(n))$。该方法在稀疏性与直径之间实现了紧致的权衡，解决了长期存在的开放问题，优于以往需要二次时间或产生更密集聚类图的构造方法。

ABSTRACT

In STOC'95 \cite{ADMSS95} Arya et al.\ showed that for any set of $n$ points in $\mathbb R^d$, a $(1+ε)$-spanner with diameter at most 2 (respectively, 3) and $O(n \log n)$ edges (resp., $O(n \log \log n)$ edges) can be built in $O(n \log n)$ time. Moreover, it was shown in \cite{ADMSS95,NS07} that for any $k \ge 4$, one can build in $O(n (\log n) 2^k α_k(n))$ time a $(1+ε)$-spanner with diameter at most $2k$ and $O(n 2^k α_k(n))$ edges. The function $α_k$ is the inverse of a certain function at the $\lfloor k/2 floor$th level of the primitive recursive hierarchy, where $α_0(n) = \lceil n/2 ceil, α_1(n) = \left\lceil \sqrt{n} ight ceil, α_2(n) = \lceil \log{n} ceil, α_3(n) = \lceil \log\log{n} ceil, α_4(n) = \log^* n$, \ldots, etc. It is also known \cite{NS07} that if one allows quadratic time then these bounds can be improved. Specifically, for any $k \ge 4$, a $(1+ε)$-spanner with diameter at most $k$ and $O(n k α_k(n))$ edges can be constructed in $O(n^2)$ time \cite{NS07}. A major open problem in this area is whether one can construct within time $O(n \log n + n k α_k(n))$ a $(1+ε)$-spanner with diameter at most $k$ and $O(n k α_k(n))$ edges. In this paper we answer this question in the affirmative. Moreover, in fact, we provide a stronger result. Specifically, we show that for any $k \ge 4$, a $(1+ε)$-spanner with diameter at most $k$ and $O(n α_k(n))$ edges can be built in optimal time $O(n \log n)$. The tradeoff between the diameter and number of edges of our spanners is tight up to constant factors in the entire range of parameters.

研究动机与目标

• 解决构造 $(1+\epsilon)$-聚类图的开放问题，使其直径至多为 $k$，边数为 $O(nk\alpha_k(n))$，且时间复杂度为 $O(n\log n + nk\alpha_k(n))$。
• 改进以往的构造方法，这些方法要么需要二次时间，要么在给定直径下产生更密集的聚类图。
• 在所有参数范围内，实现聚类图直径与边数之间紧致的权衡（仅相差常数因子）。
• 通过一种新颖的变换技术，将非斯坦纳聚类图的下界扩展至斯坦纳聚类图。

提出的方法

• 基于空间的递归分解设计分层聚类结构，利用 $k$-层聚类控制路径长度。
• 应用一种新颖的边删除与替换策略，在保持聚类图性质的同时减少边数。
• 采用一种变换方法，将任意欧几里得聚类图转化为新聚类图，其直径减小且边数至多为原来的四倍。
• 使用类似反阿克曼函数的 $\alpha_k(n)$ 来参数化直径与稀疏性之间的权衡。
• 通过分治方法实现线性时间构造，得到边数为 $O(n\alpha_k(n))$、直径至多为 $k$ 的聚类图。
• 利用欧几里得空间的几何性质与三角不等式，控制变换过程中路径权重的膨胀。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $O(n\log n + nk\alpha_k(n))$ 时间内构造出直径至多为 $k$、边数为 $O(nk\alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-聚类图？
• RQ2 是否可能在 $O(n\log n)$ 时间内实现边数为 $O(n\alpha_k(n))$、直径至多为 $k$ 的聚类图？
• RQ3 欧几里得聚类图的直径与边数之间最紧致的权衡是什么？能否高效实现？
• RQ4 能否将非斯坦纳聚类图的下界扩展至欧几里得设置下的斯坦纳聚类图？

主要发现

• 本文在 $O(n\log n)$ 时间内构造出直径至多为 $k$、边数为 $O(n\alpha_k(n))$ 的 $(1+\epsilon)$-聚类图，实现了最优构造时间。
• 直径 $k$ 与边数 $O(n\alpha_k(n))$ 之间的权衡在所有参数范围内均紧致（仅相差常数因子）。
• 该构造方法优于以往方法，后者需要 $O(n^2)$ 时间或在相同直径下产生 $O(nk\alpha_k(n))$ 条边。
• 该方法可将任意聚类图转换为新聚类图，其边数至多为原图的四倍，且直径至多为 $\Lambda^\prime \leq \Lambda$，同时保持 $(1+\epsilon)$-聚类图性质。
• 为任意边数不超过 $m$ 的欧几里得斯坦纳 $(1+\epsilon)$-聚类图建立了 $\Omega(\alpha(m,n))$ 的直径下界，扩展了以往针对非斯坦纳聚类图的下界结果。
• 该结果解决了 Narasimhan 和 Smid 著作中提出的开放问题，证实了在最小边数与小直径下实现最优时间构造是可行的。