[论文解读] An Optimal Transport View On Schroedinger's Equation

Max‐K. von Renesse|ArXiv.org|Apr 29, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文在最优传输几何框架下建立了薛定谔方程与概率测度的 Wasserstein 空间上哈密顿流之间的几何等价性，表明薛定谔方程是牛顿运动定律在 Wasserstein 黎曼度量下的提升。关键贡献在于通过 Madelung 变换实现的辛同构，将量子动力学与最优传输几何联系起来，其中势能项同时包含经典能量与量子费舍尔信息。

ABSTRACT

We show that the Schroedinger equation is a lift of Newton's law of motion on the space of probability measures, where derivatives are taken w.r.t. the Wasserstein Riemannian metric. Here the potential is the sum of the total classical potential energy of the extended system and its Fisher information. The precise relation is established via a well known ('Madelung') transform which is shown to be a symplectic submersion of the standard symplectic structure of complex valued functions into the canonical symplectic space over the Wasserstein space. All computations are conducted in the framework of Otto's formal Riemannian calculus for optimal transportation of probability measures

研究动机与目标

• 在最优传输理论框架内，建立薛定谔方程的几何解释。
• 证明薛定谔方程作为概率测度的 Wasserstein 空间上的哈密顿流而出现。
• 证明 Madelung 变换在复希尔伯特空间的波函数与 Wasserstein 空间之间起到辛子mersion 的作用。
• 通过 Wasserstein 度量与费舍尔信息作为量子修正项，统一量子动力学与经典力学。

提出的方法

• 使用 Otto 框架与二次 Wasserstein 度量 $d_{\mathcal{W}}$，在概率测度空间上进行形式黎曼微积分。
• 推导 $\mathcal{P}(M)$ 上泛函的 Wasserstein 梯度，特别是针对势能 $F(\mu) = \langle V,\mu\rangle + \frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$。
• 应用 Madelung 变换 $\Psi = \sqrt{\mu}e^{iS/\hbar}$，将实值概率测度与复波函数联系起来。
• 将 $\mathcal{P}(M)$ 上的协变导数 $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu}$ 识别为 Wasserstein 几何中的加速度。
• 证明在 $\mathcal{P}(M)$ 上诱导的流满足牛顿定律 $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = -\nabla^{\mathcal{W}}F(\mu)$，其中 $F$ 如定义所示。
• 通过将波函数提升为 $T_{\mu}\mathcal{P}(M)$ 中速度场的映射 $\sigma$，建立薛定谔方程与哈密顿流之间的辛等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 薛定谔方程能否被解释为概率测度的 Wasserstein 空间上的哈密顿流？
• RQ2 费舍尔信息泛函 $I(\mu)$ 如何作为量子修正项出现在势能 $F(\mu)$ 中？
• RQ3 Madelung 变换在连接量子动力学与最优传输之间的确切几何作用是什么？
• RQ4 在 $L^2$-取值波函数的标准辛结构与 Wasserstein 空间的典范辛结构之间是否存在辛同构？
• RQ5 经典极限 ($\hbar \to 0$) 如何从该几何表述中恢复牛顿力学？

主要发现

• 薛定谔方程在几何上等价于 Wasserstein 空间 $\mathcal{P}(M)$ 上的哈密顿流，其控制方程为 $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = -\nabla^{\mathcal{W}}F(\mu)$，其中 $F(\mu) = \langle V,\mu\rangle + \frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$。
• Madelung 变换 $\Psi = \sqrt{\mu}e^{iS/\hbar}$ 是从复值函数上的标准辛结构到 $T\mathcal{P}(M)$ 上典范辛结构的辛子mersion。
• Wasserstein 度量中的动能对应于经典动能与量子费舍尔信息之和，其中 $\frac{\hbar^2}{8}I(\mu)$ 表示量子修正项。
• 在辛映射 $\sigma$ 下，薛定谔方程的哈密顿量 $H_S = \int |\nabla\Psi|^2 dx + \int |\Psi|^2 V dx$ 等于泛函 $H_F = \frac{1}{2}\|\psi\|^2_{T_\mu\mathcal{P}} + F(\mu)$。
• 经典极限 $\hbar \to 0$ 恢复了点粒子的牛顿运动定律，此时 $\mu = \delta_x$ 且 $I(\mu) \to 0$。
• Wasserstein 几何中的协变导数给出 $\nabla^{\mathcal{W}}_{\dot{\mu}}\dot{\mu} = V_{\partial_t\phi + \frac{1}{2}|\nabla\phi|^2}$，将流体动力学与量子力学联系起来。