[论文解读] An optimal transportation approach to the decay of correlations for non-uniformly expanding maps

Benoît Kloeckner|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 33被引用 16

一句话总结

本文提出了一种最优传输框架，用于建立非一致膨胀映射在各种正则性势函数下的相关性指数衰减。通过在势函数上引入一种新的平坦性条件，作者在不依赖马尔可夫划分或诱导技术的前提下，证明了Ruelle-Perron-Frobenius定理和谱间隙结果，以统一方式恢复并扩展了先前的结果，尤其适用于Pomeau-Manneville映射和低正则性膨胀映射。

ABSTRACT

We consider the transfer operators of non-uniformly expanding maps for potentials of various regularity, and show that a specific property of potentials ("flatness") implies a Ruelle-Perron-Frobenius Theorem and a decay of the transfer operator of the same speed than entailed by the constant potential. The method relies neither on Markov partitions nor on inducing, but on functional analysis and duality, through the simplest principles of optimal transportation. As an application, we notably show that for any map of the circle which is expanding outside an arbitrarily flat neutral point, the set of H{\\"o}lder potentials exhibiting a spectral gap is dense in the uniform topology. The method applies in a variety of situation, including Pomeau-Manneville maps with regular enough potentials, or uniformly expanding maps of low regularity with their natural potential; we also recover in a united fashion variants of several previous results.

研究动机与目标

• 建立非一致膨胀映射的转移算子在低正则性势函数下的相关性衰减。
• 通过一种新的平坦性条件，将谱间隙结果推广至非一致膨胀映射和Hölder连续势函数之外的范围。
• 统一并扩展先前关于Pomeau-Manneville映射和低正则性膨胀映射的相关性衰减结果。
• 提供一种基于对偶性的泛函分析方法，避免使用马尔可夫划分和诱导技术。
• 证明对于具有平坦中性点的映射，具有谱间隙的Hölder势函数在一致拓扑下是稠密的。

提出的方法

• 在势函数上引入一种平坦性条件，通过连续模定义，以确保谱间隙和相关性衰减。
• 利用对偶性和泛函分析，通过Ruelle-Perron-Frobenius定理将转移算子与马尔可夫转移核联系起来。
• 应用最优传输理论，隐式结合耦合方法并控制加权马尔可夫链的收敛性。
• 采用耦合论证方法证明对偶算子的收敛性，利用反向随机游走的压缩性质。
• 应用一个通用收敛准则（引理5.8），通过平坦性条件将无权重核的衰减速率与加权核联系起来。
• 通过修改耦合假设并在第5.1节中提供新准则，修正了原始版本中的关键错误（引理2.14）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种势函数条件下，非一致膨胀映射的转移算子表现出谱间隙？
• RQ2 能否在不使用马尔可夫划分或诱导技术的前提下，建立此类映射的相关性衰减？
• RQ3 势函数的正则性和平坦性在确保相关性指数衰减或多项式衰减中起什么作用？
• RQ4 最优传输理论如何用于统一和推广现有相关性衰减结果？
• RQ5 对于具有中性不动点的映射，具有谱间隙的势函数集合在一致拓扑下是否稠密？

主要发现

• 对于任意在某个任意平坦的中性点外为膨胀的圆周映射，具有谱间隙的Hölder势函数在一致拓扑下是稠密的。
• 通过连续模定义的势函数平坦性条件，确保了转移算子的衰减速率与常数势函数情况相同。
• 该方法恢复并统一了关于具有正则势函数的Pomeau-Manneville映射相关性衰减的先前结果的多种变体。
• 对于具有$\mathscr{C}^{\beta\log}$-正则雅可比行列式的均匀膨胀映射，自然势函数$A = -\log JT$产生谱间隙和多项式衰减的相关性。
• 通过修改耦合假设并在第5.1节中提供新准则，修正后的版本确保了核心定理（定理4.1）的有效性。
• 该方法不仅能实现指数衰减，还能根据势函数的平坦性和正则性实现多项式衰减和中间衰减速率。