[论文解读] An optimization problem for the first eigenvalue of the $p-$fractional laplacian

Leandro M. Del Pezzo, Julián Fernández Bonder+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了带势函数 $V$ 的非局部 $p$-分数阶拉普拉斯算子的第一特征值的优化问题，建立了第一特征值的存在性、正性、简单性与孤立性。证明了在 $V$ 的 $L^q$-范数约束下，存在使第一特征值最小化或最大化之最优势函数，首次将经典结果推广至分数阶非线性情形。

ABSTRACT

In this paper we analyze an eigenvalue problem related to the nonlocal $p-$laplace operator plus a potential. After reviewing some elementary properties of the first eigenvalue of these operators (existence, positivity of associated eigenfunctions, simplicity and isolation) we investigate the dependance of the first eigenvalue on the potential function and establish the existence of some {\em optimal} potentials in some admissible classes.

研究动机与目标

• 建立带势函数 $V$ 的 $p$-分数阶拉普拉斯算子的第一特征值的存在性及其基本性质（正性、简单性、孤立性）。
• 分析第一特征值在 $L^q(\Omega)$ 中势函数 $V$ 下的依赖关系，其中 $q > \max\{1, n/(sp)\}$。
• 解决一个优化问题：在 $L^q$-球中寻找使第一特征值最小化或最大化之势函数 $V$。
• 将经典 $p=2$ 及局部情形下的已知结果推广至非局部、非线性分数阶 $p$-拉普拉斯算子情形。
• 提供特征函数的正则性结果，表明在 $V$ 具备适当可积性时，特征函数有界且 Hölder 连续。

提出的方法

• 使用分数阶索伯列夫空间 $W^{s,p}(\Omega)$ 及其子空间 $W_0^{s,p}(\Omega)$ 和 $\widetilde{W}^{s,p}(\Omega)$ 来定义弱解。
• 应用变分方法与直接极小化方法，通过瑞利商证明第一特征值的存在性。
• 利用加利亚尔多半范数及主值积分定义的分数阶 $p$-拉普拉斯算子以处理非局部性。
• 采用截断技巧与迭代 $L^p$-范数估计证明特征函数的有界性。
• 在正则性分析中，应用分数阶索伯列夫嵌入定理与 Hölder 不等式控制范数。
• 利用 $L^q$ 中的紧致性与弱下半连续性，建立 $L^q$-球中最优势函数的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带势函数 $V$ 的 $p$-分数阶拉普拉斯算子的第一特征值是否存在？是否孤立且简单？
• RQ2 第一特征值在 $L^q(\Omega)$ 中的势函数 $V$ 下是否连续或单调？
• RQ3 能否在 $L^q$-球中找到使第一特征值最小化或最大化之最优势函数 $V$？
• RQ4 当 $V \in L^q(\Omega)$ 时，与第一特征值相关的特征函数是否有界且 Hölder 连续？
• RQ5 当 $V \in L^\infty(\Omega)$ 时，特征函数的正则性与结构性质如何？

主要发现

• 对于 $V \in L^q(\Omega)$，$q > \max\{1, n/(sp)\}$，第一特征值 $\lambda_1$ 存在，为正，简单且孤立。
• 对应的特征函数非负，且属于 $L^\infty(\mathbb{R}^n)$，其有界性通过迭代 $L^{pq'}$-范数估计得以确立。
• 当 $V \in L^\infty(\Omega)$ 时，特征函数在 $\overline{\Omega}$ 上 Hölder 连续，即存在 $\alpha \in (0,1)$ 使得 $u \in C^\alpha(\overline{\Omega})$。
• 第一特征值关于 $V$ 在 $L^q$-范数下连续且单调，从而可在 $L^q$-球上实现优化。
• 在 $L^q$-球 $\|V\|_q \leq M$ 中，存在使第一特征值极值化的最优势函数，解决了非局部、非线性情形下的优化问题。
• 所有结果即使在 $p=2$ 的线性情形下亦为新结果，将先前关于标准分数阶拉普拉斯算子与 $p$-拉普拉斯算子的研究推广至非局部 $p$-分数阶情形。