[论文解读] An Order on Sets of Tilings Corresponding to an Order on Languages

Nathalie Aubrun, Mathieu Sablik|ArXiv.org|Feb 10, 2009

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文建立了多维子移位系统中一种动力学序（通过因子、子作用、积等操作定义）与禁止模式语言的可计算性序之间的对应关系。核心贡献在于形式化证明：一个子移位系统可通过动力学变换模拟另一个子移位系统，当且仅当后者的禁止模式语言在计算上可约化为前者的语言，从而推广了平铺理论中的模拟层次结构。

ABSTRACT

Traditionally a tiling is defined with a finite number of finite forbidden patterns. We can generalize this notion considering any set of patterns. Generalized tilings defined in this way can be studied with a dynamical point of view, leading to the notion of subshift. In this article we establish a correspondence between an order on subshifts based on dynamical transformations on them and an order on languages of forbidden patterns based on computability properties.

研究动机与目标

• 通过考虑任意集合的禁止模式，将平铺理论推广至有限禁止模式之外。
• 通过因子、子作用、积等动力学操作，形式化定义子移位系统之间的模拟概念。
• 建立子移位系统之间模拟关系与禁止模式语言上可计算性序之间的对应关系。
• 证明多维子移位系统可基于其禁止模式语言的复杂性相互模拟。
• 证明不存在能模拟所有其他子移位系统的通用子移位系统，这是由于语言可约化存在固有局限。

提出的方法

• 作者使用任意集合的禁止模式定义广义平铺，从而将子移位系统视为配置空间中闭合且平移不变的子集。
• 引入五种动力学操作——积、因子、有限型、子作用与叠加，以形式化子移位系统之间的模拟关系。
• 关键构造利用了混合子移位系统来模拟带有预言机的图灵机，通过高维空间中的矩形图案编码计算过程。
• 证明依赖于将图灵机计算嵌入四维子移位系统中，其中预言机查询通过另一子移位系统的配置来解决。
• 通过证明一个子移位系统可被模拟当且仅当其禁止模式语言在计算上可约化为模拟子移位系统的语言，从而建立对应关系。
• 构造使用语言补集方法：若某模式不在语言中，则目标子移位系统中存在有效配置，从而实现模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个子移位系统能否通过因子、子作用等动力学操作模拟另一个子移位系统？其成立的条件是什么？
• RQ2 禁止模式语言的可计算性与子移位系统模拟层次结构之间有何关系？
• RQ3 是否存在一个通用子移位系统，可在所考虑的操作下模拟所有其他子移位系统？
• RQ4 使用高维构造模拟 d 维子移位系统时，所需的最小维度是多少？
• RQ5 不同动力学操作组合（如因子与子作用）如何影响最终的模拟序？

主要发现

• 通过动力学操作对子移位系统的模拟，恰好对应于其禁止模式语言的可计算性约化。
• 所有禁止模式语言为递归枚举的子移位系统，均可在 d+2 维中被有限型子移位系统模拟。
• 模拟层次结构完全由预言机图灵机下的禁止模式语言可约化关系所刻画。
• 不存在能模拟所有其他子移位系统的通用子移位系统，原因在于可计算层次中存在严格高于任一给定语言的语言。
• 四维子移位系统的构造可实现对带有预言机的图灵机的模拟，其中预言机查询通过另一子移位系统的配置解决。
• 一个子移位系统的语言在计算上可约化为另一个子移位系统，当且仅当后者可通过全部动力学操作集合实现对前者的模拟。