[论文解读] An Ordered Approach to Solving Parity Games in Quasi Polynomial Time and Quasi Linear Space

John Fearnley, Sanjay Jain+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文提出了一种基于进展度量的新型算法，通过以向后、值迭代的方式重新解释 Calude 等人提出的紧凑见证（succinct witnesses），在准多项式时间与准线性空间内求解公平游戏。关键贡献在于实现了针对固定颜色数的准双线性时间复杂度，并提供了新的上界，同时在 Friedmann 的陷阱示例等特定基准类上优于现有算法。

ABSTRACT

Parity games play an important role in model checking and synthesis. In their paper, Calude et al. have shown that these games can be solved in quasi-polynomial time. We show that their algorithm can be implemented efficiently: we use their data structure as a progress measure, allowing for a backward implementation instead of a complete unravelling of the game. To achieve this, a number of changes have to be made to their techniques, where the main one is to add power to the antagonistic player that allows for determining her rational move without changing the outcome of the game. We provide a first implementation for a quasi-polynomial algorithm, test it on small examples, and provide a number of side results, including minor algorithmic improvements, a quasi bi-linear complexity in the number of states and edges for a fixed number of colours, and matching lower bounds for the algorithm of Calude et al.

研究动机与目标

• 开发 Calude 等人用于求解公平游戏的准多项式时间算法的高效实现。
• 使原本为前向计算设计的紧凑见证能够有效用于向后处理。
• 在保持准多项式时间性能的同时，实现准线性空间复杂度。
• 为特定游戏类别提供比现有算法更实用且优化的替代方案。
• 建立该算法的新理论复杂度上界与下界。

提出的方法

• 将 Calude 等人的前向推进见证重新表述为用于值迭代的向后进展度量。
• 引入一种改进的进展度量，使得无需完整状态历史即可实现对游戏图的向后遍历。
• 通过紧凑见证表示，使用向后值迭代过程计算获胜策略。
• 在向后处理过程中应用修改后的对抗方理性移动选择机制，以保持游戏结果不变。
• 将标准颜色表示整合进进展度量，以实现高效实现。
• 通过对手见证更新与迭代次数的详细分析，推导出复杂度上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Calude 等人的紧凑见证能否被有效重用于公平游戏中的向后、基于值迭代的计算？
• RQ2 使用这些见证的向后进展度量算法的时间与空间复杂度为何？
• RQ3 该算法在基准游戏族上的性能与策略改进法及递归算法相比如何？
• RQ4 对于固定或对数数量的颜色，该算法可达到的最紧致上界是什么？
• RQ5 能否建立一个与该算法最坏情况下的准多项式时间相匹配的下界？

主要发现

• 所提出的算法在颜色数固定时，实现了 O(mn log(n)c−1) 的准双线性时间复杂度，与同类算法的最佳已知上界一致。
• 该算法提供了新的准双线性 FPT 上界 O(mna(n)log log n)，其中 a(n) 为反阿克曼函数，优于先前的上界。
• 对于颜色数较多的游戏，该算法的上界为 O(m · h · nc1.45+log2(h))，其中 h = ⌈1 + c/log(n)⌉ 且 c1.45 < 1.45。
• 在 Friedmann 的陷阱示例上，该算法优于经典策略改进法与递归算法，求解时间低于 0.01 秒。
• 构造了一类单玩家游戏，作为最坏情况示例，使该算法与 Calude 等人原始算法均达到准多项式运行时间。
• 实现表明，该算法在递归阶梯结构与 Friedmann 陷阱上表现出优越性能，但在随机游戏上表现较差，凸显其对特定类别的效率依赖性。