[论文解读] An Osgood's criterion for a semilinear stochastic differential equation

Jorge A. Leòn, Liliana Peralta+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文将 Osgood 的判据扩展至形如 $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $ 的半线性随机微分方程（SDE），基于 $ 1/b $ 的可积性，建立了有限时间内爆炸的条件，并将 Feller 的判据推广至 $ \sigma \equiv 1 $ 的情形。关键结果为：在给定的正则性和单调性条件下，爆炸发生当且仅当对某个 $ a > 0 $，有 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to give an Osgood's criterion for solutions of semilinear stochastic differential equations of the form $X_{t}=ξ+\int_{0}^{t}b(s,X_{s})ds+\int_{0}^{t}σ(s)X_{s}dW_{s},\ t\geq 0$. Here, $b$ is a non-negative, non-decreasing by components and continuous random field and $σ$ is a predictable and continuous process. Also we present a generalization of the so-called Feller's test whenever $σ\equiv 1$.

研究动机与目标

• 填补非自治半线性 SDE 带乘性噪声时有限时间爆炸判据的空白。
• 将 Osgood 的经典 ODE 判据推广至带时间与状态依赖漂移的随机情形。
• 在适当的正则性和单调性假设下，将 Feller 的爆炸判据推广至非自治情形（当 $ \sigma \equiv 1 $ 时）。
• 基于逆漂移函数的路径可积性，建立基于概率的爆炸判据。
• 提出一种基于时间改变的布朗运动的变换框架，将问题简化为时齐设定。

提出的方法

• 使用二次变差过程 $ \Lambda(t) = \int_0^t \sigma^2(s) ds $ 的时间变换技术，将原始 SDE 转化为时间改变的扩散过程。
• 应用 Itô 公式，推导出 $ \tilde{Z}_t = Z_t e^{\tilde{B}_t - t/2} $ 的变换方程，其中 $ \tilde{B}_t $ 是在时间变换下的布朗运动。
• 定义新的漂移系数 $ \breve{b}(\omega,t,x) = \frac{b(\omega,\Lambda^{-1}(t),e^x)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(t))e^x} $ 以分析变换后的方程。
• 应用比较引理，证明在 $ b $ 单调递增且为正的条件下，当 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ 时发生爆炸。
• 利用路径分析与强马氏性质，将原始过程的爆炸时间与 $ 1/b $ 的可积性联系起来。
• 在非爆炸条件下，建立原始 SDE 爆炸与积分 $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $ 发散之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，半线性 SDE $ dX_t = b(t,X_t)dt + \sigma(t)X_t dW_t $ 的解会在有限时间内爆炸？
• RQ2 Osgood 对 ODE 的判据能否推广至带乘性噪声的非自治半线性 SDE？
• RQ3 SDE 的爆炸行为如何依赖于 $ 1/b $ 的可积性？噪声系数 $ \sigma $ 在其中起什么作用？
• RQ4 当 $ \sigma \equiv 1 $ 时，Feller 对自治 SDE 的爆炸判据能否推广至非自治情形？
• RQ5 可采用何种变换技术，将带乘性噪声的非自治 SDE 简化为便于分析的时齐形式？

主要发现

• 在给定的正则性和单调性假设下，爆炸在有限时间内发生当且仅当对某个 $ a > 0 $，有 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $。
• 若 $ \Lambda(\infty) = \infty $ 且 $ b $ 满足所需的非减和正性条件，则解 $ X_t $ 几乎必然在有限时间内爆炸。
• 在 $ \Lambda(\infty) = \infty $ 的条件下，爆炸时间有限当且仅当 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $，其中 $ \theta > e^c $，$ c \geq 0 $。
• 变换后的过程 $ \tilde{Z}_t $ 满足一个时齐 SDE，其漂移为 $ \frac{b(\Lambda^{-1}(s), \tilde{Z}_s)}{\sigma^2(\Lambda^{-1}(s))} $，从而可应用已知的比较结果。
• 爆炸时间是路径意义下确定的：对几乎所有 $ \omega_0 \in \tilde{\Omega} $，若 $ 1/b $ 的积分发散，则解发生爆炸。
• 在 $ \sigma^2 > 0 $ 且 $ \Lambda(\infty) = \infty $ 的假设下，爆炸条件等价于积分 $ \int_0^\infty \exp(-\sup_t |\int_0^t \sigma(r)dW_r|) dt $ 发散，该积分在 $ \int_\theta^\infty \frac{ds}{b(\omega,a,s)} < \infty $ 时为无穷大。