[论文解读] An Overlapping Domain Decomposition Preconditioner for the Helmholtz equation

Wei Leng, Lili Ju|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 8被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种用于二维Helmholtz方程的一步重叠域分解预条件子，可实现高频波问题的完全并行求解。通过在x和y方向上分解区域，并在PML层中同时求解局部子问题，该方法实现了与子域数量成比例的迭代次数，从而在大规模并行机器上高效求解接近十亿未知数的问题。

ABSTRACT

In this paper, based on the overlapping domain decomposition method (DDM) proposed in \cite{Leng2015}, an one step preconditioner is proposed to solve 2D high frequency Helmholtz equation. The computation domain is decomposed in both $x$ and $y$ directions, and the local solution on each subdomain is updated simultaneously in one iteration, thus there is no sweeping along certain directions. In these ways, the overlapping DDM is similar to the popular DDM for Poisson problem. The one step preconditioner simply take the restricted source on each subdomain, solve the local problems and summarize the local solutions on all subdomains including their PML area. The complexity of solving the problem with the preconditioner is $O(N n_{ ext{iter}})$, where $n_{ ext{iter}}$ is the number of iteration, and it is shown numerically that $n_{ ext{iter}}$ is proportional to the number of subdomains in one direction. 2D Helmholtz problem with nearly a billion unknowns are solved efficiently with the preconditioner on massively parallel machines.

研究动机与目标

• 开发一种可扩展的、用于高频二维Helmholtz问题的并行预条件子，避免顺序扫掠。
• 通过重叠域分解方法，实现对高达接近十亿未知数的大规模Helmholtz问题的高效求解。
• 通过一步非扫掠迭代方法，保持与频率和问题规模无关的鲁棒收敛性。
• 在复杂介质（包括分层介质和Marmousi模型）上，通过大规模并行性展示该预条件子的有效性。

提出的方法

• 计算区域在x和y方向上被分解为重叠子域，实现完全并行更新，无需方向性扫掠。
• 通过在每个子域上求解带有受限源项的局部Helmholtz问题，并在解中包含PML区域，构建一步预条件子。
• 采用单轴PML作为吸收边界条件，复坐标拉伸在x和y方向上同时应用。
• 全局解通过局部解的和来组装，包括重叠PML层的贡献，以确保波的连续性和吸收性。
• 迭代过程在一步内同时更新所有子域，避免了传统DDM中的顺序扫掠。
• 该方法在大规模并行机器上实现，局部问题独立且异步求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 非扫掠的重叠域分解方法能否在高频Helmholtz问题上实现鲁棒收敛？
• RQ2 在并行环境下，迭代次数如何随问题规模和子域数量变化？
• RQ3 该预条件子在复杂介质（如Marmousi模型）上是否保持效率和可扩展性？
• RQ4 重叠区域大小对收敛性和计算成本有何影响？
• RQ5 该方法能否在并行架构上高效求解接近十亿未知数的Helmholtz问题？

主要发现

• GMRES迭代次数与一个方向上的子域数量呈线性比例，表明具有良好的可扩展性。
• 在均匀介质中，等效扫掠次数在不同问题规模下保持在约7–10之间，显示出对频率的鲁棒性。
• 在分层介质测试中，即使问题规模增至19,200²未知数，等效扫掠次数也稳定在约9–11之间。
• 对于具有977 million未知数的Marmousi模型，使用54,150 × 18,050网格点和4,332个处理器，方法在1,123次GMRES迭代内实现收敛。
• 在不增加重叠区域的情况下，每次迭代的时间成本显著降低，但更大的重叠区域增加了局部求解时间和总成本。
• 该方法表现出弱可扩展性，在问题规模增大时，等效扫掠次数几乎保持恒定，证实了其在大规模问题上的鲁棒性。