[论文解读] An overview of the Eight International Olympiad in Cryptography "Non-Stop University CRYPTO"

A. Gorodilova, N. Tokareva+14 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2022

Coding theory and cryptography被引用 4

一句话总结

本文介绍了第8届国际密码学奥林匹克竞赛'非中断大学密码学竞赛'（2021年）的19道题目及其解答，涵盖对称密码、置换、量子纠错、s-布尔共享以及到仿射函数的距离等主题，题目类型包括已解决问题与开放性挑战。该竞赛共设19道题目，涉及多个领域，其中四道题为开放研究问题，本文提供了这些题目的详细解答与部分进展，尤其在APN函数、量子纠错和s-布尔共享方面，展示了国际参与者与研究人员的贡献。

ABSTRACT

Non-Stop University CRYPTO is the International Olympiad in Cryptography that was held for the eight time in 2021. Hundreds of university and school students, professionals from 33 countries worked on mathematical problems in cryptography during a week. The aim of the Olympiad is to attract attention to curious and even open scientific problems of modern cryptography. In this paper, problems and their solutions of the Olympiad'2021 are presented. We consider 19 problems of varying difficulty and topics: ciphers, online machines, passwords, binary strings, permutations, quantum circuits, historical ciphers, elliptic curves, masking, implementation on a chip, etc. We discuss several open problems on quantum error correction, finding special permutations and s-Boolean sharing of a function, obtaining new bounds on the distance to affine vectorial functions.

研究动机与目标

• 呈现并分析2021年线上举行的第8届国际密码学奥林匹克竞赛'非中断大学密码学竞赛'（NSUCRYPTO 2021）的19道题目，参赛者来自33个国家。
• 为涉及密码、置换、二进制字符串、椭圆曲线、掩蔽和量子线路的问题提供详细解答。
• 突出并讨论四个密码学开放问题，包括量子纠错、s-布尔共享、特殊置换以及到仿射函数距离的界。
• 记录参与者提交的部分与完整解答，包括特别奖项获奖作品，并更新此前提出的开放问题的最新进展。
• 通过展示数学与密码学交叉领域的实际未解问题，促进研究参与，鼓励进一步学术探索。

提出的方法

• 所选题目涵盖对称密码、在线机器、密码、二进制字符串、置换、量子线路、历史密码、椭圆曲线、掩蔽及硬件实现等多种密码学主题。
• 每道题目均包含可解任务，且在四道题目中设置了开放性研究挑战，以激发深入探究。
• 通过数学分析、代数正规型变换及计算搜索技术推导解答，尤其针对s-布尔共享与置换表征问题。
• 对于量子纠错与s-布尔共享问题，参赛者利用有限域上的代数结构与线性代数方法，探索可行性并构造实例。
• 竞赛采用远程参与形式，题目分两轮发布，对开放问题取得显著进展的解答将获得特别奖项。
• 本文汇编并分析了参赛者的解答，包括中国团队在s-布尔共享问题上取得的部分进展，并引用了关于正交数组与秘密共享等相关开放问题的前期研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于已知的APN幂函数F(x) = xd（当n = 7或n = 8时），能否找到线性函数L1与L2，使得L1(x) + L2(F(x))构成置换？
• RQ2 当n ≥ 9时，是否存在非零线性函数L1与L2，使得L1(x) + L2(F(x))对任何已知APN指数d构成置换？
• RQ3 对于所有n，函数F与所有仿射函数之间汉明距离的最佳上界是什么？
• RQ4 能否构造出无限函数族，使其与仿射函数的汉明距离尽可能大？
• RQ5 s-布尔共享的结构特性与存在条件是什么，特别是非平凡情况下的情形？

主要发现

• 对于APN函数F(x) = xd，其中d = 2^2i − 2^i + 1且gcd(i, n) = 1，当n = 7或n = 8时，L1(x) + L2(F(x))为置换的唯一解是L1或L2中一个为零，另一个为置换。
• 在Q2问题中，对于n ≥ 9，未发现非平凡解（即L1与L2均非零），尽管Alexey Chilikov报告了特定情况下存在非平凡解。
• Gongyu Shi、Ruoyi Kong与Haoxiang Jin组成的团队通过代数正规型与单项式分解技术，在s-布尔共享问题上取得部分成功。
• 量子纠错问题部分得到回应，参赛者探索了稳定子码与逻辑量子比特构造，但尚未找到完整解法。
• 已确认当n ≥ 4时，到仿射函数的距离严格小于2^n − n − 1，且提出了新构造方法以逼近该界。
• Gabor P. Nagy、Gabor V. Nagy与Miklos Maroti团队揭示了到仿射函数的距离与微分均匀性之间的联系，为获得更紧的界提供了潜在路径。