[论文解读] An SDE approximation for stochastic differential delay equations with colored state-dependent noise

Austin McDaniel, Özer Duman+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

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一句话总结

本文提出了一种针对具有彩色、状态相关噪声的多维随机微分延迟方程（SDDEs）的随机微分方程（SDE）近似方法。通过令时间延迟和噪声相关时间趋近于零，利用Kurtz和Protter关于随机积分收敛性的定理，建立了严格的SDE近似，从而实现了对具有延迟和相关噪声响应的实际系统建模的简化。

ABSTRACT

We consider a general multidimensional stochastic differential delay equation (SDDE) with colored state-dependent noises. We approximate it by a stochastic differential equation (SDE) system and calculate its limit as the time delays and the correlation times of the noises go to zero. The main result is proven using a theorem about convergence of stochastic integrals by Kurtz and Protter. It formalizes and extends a result that has been obtained in the analysis of a noisy electrical circuit with delayed state-dependent noise, and may be used as a working SDE approximation of an SDDE modeling a real system, where noises are correlated in time and whose response to noise sources is delayed.

研究动机与目标

• 将先前在含延迟、状态相关噪声的电子电路中观察到的近似方法形式化并加以扩展。
• 为具彩色噪声的一般多维SDDEs提供基于SDE的严格近似。
• 实现对实际系统中同时具有时间相关性和状态依赖性噪声的延迟反馈的实用建模。
• 利用高级随机分析方法，建立当延迟和相关时间趋于零时，SDDE系统收敛至SDE的理论依据。

提出的方法

• 本研究采用Kurtz和Protter关于随机积分收敛性的定理，分析SDDE的极限行为。
• 将彩色噪声建模为积分化的Ornstein–Uhlenbeck过程，以表征时间相关性。
• 在极限分析中，逐步将状态变量中的时间延迟减小至零。
• 通过一般函数形式处理状态相关噪声，保持对过去状态的依赖性。
• 在适当的矩条件和正则性条件下，建立了解过程在分布意义上的收敛性。
• 所得SDE近似在极限下保留了原始SDDE的本质动力学特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当时间延迟和噪声相关时间趋于零时，具有彩色、状态相关噪声的随机微分延迟方程如何被近似为标准SDE？
• RQ2 在何种数学条件下，可确保SDDE解在该极限下收敛至SDE解？
• RQ3 该SDE近似在何种意义上保持了原始SDDE在延迟和相关噪声下的统计与动力学行为？
• RQ4 该近似能否利用现有的随机分析工具（如随机积分收敛定理）进行严格证明？
• RQ5 该近似对具有延迟反馈和彩色噪声的实际物理系统建模有何影响？

主要发现

• 当时间延迟和噪声相关时间均趋于零时，SDDE的解在分布意义上收敛至SDE的解。
• 该收敛性基于Kurtz和Protter的定理，为近似提供了严格的理论基础。
• 在极限条件下，所得SDE近似能够捕捉原始系统的本质动力学。
• 该方法适用于具状态相关噪声的一般多维系统，扩展了先前在电子电路等特定应用中的结果。
• 该近似使得具有延迟和相关噪声的复杂系统能够进行简化分析与仿真，同时不损失关键统计特征。