[论文解读] An SDP Approach For Solving Quadratic Fractional Programming Problems

Van-Bong Nguyen, Ruey-Lin Sheu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出一种新颖的半定规划（SDP）松弛方法，用于求解具有双边二次约束的二次分数规划问题，绕过迭代的Dinkelbach方法。通过在约束资格条件下证明一个新的带有等式的S-lemma版本，最优参数 $\lambda^*$ 可通过精确SDP松弛直接计算，从而实现无需对偶Slater条件或正定矩阵束假设的高效全局求解。

ABSTRACT

This paper considers a fractional programming problem (P) which minimizes a ratio of quadratic functions subject to a two-sided quadratic constraint. As is well-known, the fractional objective function can be replaced by a parametric family of quadratic functions, which makes (P) highly related to, but more difficult than a single quadratic programming problem subject to a similar constraint set. The task is to find the optimal parameter $λ^*$ and then look for the optimal solution if $λ^*$ is attained. Contrasted with the classical Dinkelbach method that iterates over the parameter, we propose a suitable constraint qualification under which a new version of the S-lemma with an equality can be proved so as to compute $λ^*$ directly via an exact SDP relaxation. When the constraint set of (P) is degenerated to become an one-sided inequality, the same SDP approach can be applied to solve (P) {\it without any condition}. We observe that the difference between a two-sided problem and an one-sided problem lies in the fact that the S-lemma with an equality does not have a natural Slater point to hold, which makes the former essentially more difficult than the latter. This work does not, either, assume the existence of a positive-definite linear combination of the quadratic terms (also known as the dual Slater condition, or a positive-definite matrix pencil), our result thus provides a novel extension to the so-called "hard case" of the generalized trust region subproblem subject to the upper and the lower level set of a quadratic function.

研究动机与目标

• 解决经典Dinkelbach方法在求解具有双边二次约束的二次分数规划问题时计算效率低下的问题。
• 消除现有方法在广义信赖域子问题的“困难情况”中对对偶Slater条件（正定矩阵束）的依赖。
• 建立一种直接基于SDP的方法，用于计算最优参数 $\lambda^*$，无需迭代优化。
• 在新的约束资格下，提出一种新颖的带有等式的S-lemma，使分数规划问题能够实现精确SDP松弛。
• 将SDP方法的应用范围扩展至标准假设失效的二次分数规划的“困难情况”。

提出的方法

• 通过Dinkelbach变换将分数规划问题（P）重新表述为参数子问题 $(P)_\lambda$，即在可行集 $X$ 上最小化 $f_1(x) - \lambda f_2(x)$。
• 引入一种新的约束资格，使得可在该条件下证明广义的带有等式的S-lemma，从而实现精确SDP松弛。
• 利用半定规划松弛，通过求解单个SDP直接计算最优 $\lambda^*$，避免对 $\lambda$ 的迭代更新。
• 证明当约束集退化为单边不等式时，SDP方法无需额外条件即可适用。
• 利用 $A_2$ 与 $B$ 的合同同时对角化（SDC）分析问题的良定性与有界性。
• 应用S-lemma推导出刻画分数规划问题良定性的矩阵不等式条件（62）。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在无需迭代优化的情况下，直接计算二次分数规划问题中的最优参数 $\lambda^*$？
• RQ2 在求解具有双边约束的广义信赖域子问题时，是否可以避免使用对偶Slater条件（正定矩阵束）？
• RQ3 何种约束资格可支持一种新的带有等式的S-lemma版本，以实现精确SDP松弛？
• RQ4 与单边约束相比，双边约束集的存在如何影响二次分数规划的可解性与对偶间隙？
• RQ5 是否可以在不假设SDC或对偶Slater条件的前提下，通过可计算的矩阵不等式条件刻画分数规划问题的良定性？

主要发现

• 所提出的SDP方法通过精确松弛直接计算 $\lambda^*$，消除了对迭代Dinkelbach更新的需求，显著提升了计算效率。
• 在新型约束资格下，证明了新的带有等式的S-lemma版本，使得即使在不存在自然Slater点的情况下，也能实现精确SDP松弛。
• 当约束集退化为单边不等式时，该方法无需任何附加条件即可适用，比以往方法更具一般性。
• 问题的良定性由一个可计算的矩阵不等式（62）刻画，该条件比假设C更一般，且无需对偶Slater条件。
• 该方法成功处理了广义信赖域子问题的“困难情况”，且无需假设存在正定矩阵束。
• 理论结果表明，在 $A_2$ 与 $B$ 满足SDC的条件下，问题（61）要么可达最优，要么无下界，从而确保了可解性条件的明确定义。