[论文解读] An SO(3)-version of 2-torsion instanton invariants

Hirofumi Sasahira|ArXiv.org|Jan 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 12

一句话总结

本文通过使用瞬子的 SO(3) 模空间上的 2-挠率上同调类，构建了非旋 4-流形的 Fintushel-Stern 2-挠率瞬子不变量的 SO(3) 版本。证明了该不变量在 $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上非平凡，该流形由于具有正 scalar 曲率，其所有 Seiberg-Witten 和标准 Donaldson 不变量均消失，从而展示了超越经典消失定理范围的新微分拓扑不变量。

ABSTRACT

We construct an invariant for non-spin 4-manifolds by using 2-torsion cohomology classes of moduli spaces of instantons on SO(3)-bundles. The invariant is an SO(3)-version of Fintushel-Stern's 2-torsion instanton invariant. We show that this SO(3)-torsion invariant is non-trivial for $2CP^2 # -CP^2$, while it is known that any known invariant of $2CP^2 # -CP^2$ coming from the Seiberg-Witten theory is trivial since $2CP^2 # -CP^2$ has a positive scalar curvature metric.

研究动机与目标

• 通过 SO(3) 纤维丛将 Fintushel-Stern 的 2-挠率瞬子不变量推广至非旋 4-流形。
• 基于 SO(3) 模空间的 2-挠率上同调类，定义一个微分拓扑不变量。
• 证明即使在因正 scalar 曲率导致标准不变量消失的流形上，该不变量仍可非平凡。
• 克服 Donaldson 理论中用于连通和的维数计数论证的局限性。

提出的方法

• 在非旋 4-流形 $X$ 上定义一个 SO(3) 纤维丛 $P$，满足 $w_2(P) = w_2(X)$ 且 $p_1(P) \equiv \sigma(X) \mod 8$。
• 构造模空间上第一上同调的 $\mathbb{Z}_2$ 系数生成元 $u_1 \in H^1(\mathcal{B}_P^*; \mathbb{Z}_2)$。
• 对自交数为偶数的同调类 $[\Sigma] \in H_2(X; \mathbb{Z})$，定义整上同调类 $\mu([\Sigma]) \in H^2(\mathcal{B}_P^*; \mathbb{Z})$。
• 对奇数维模空间，定义配对 $q_X^{u_1}([\Sigma_1], \dots, [\Sigma_d]) = \langle u_1 \cup \mu([\Sigma_1]) \cup \cdots \cup \mu([\Sigma_d]), [M_P] \rangle \in \mathbb{Z}_2$。
• 证明 $Y\#S^2\times S^2$ 的类似 Fintushel-Stern 的粘合公式，使连通和上的计算成为可能。
• 利用 Kotschick 的计算结果与粘合公式，证明该不变量在 $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上非平凡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 SO(3) 规范理论为非旋 4-流形定义 2-挠率瞬子不变量？
• RQ2 当流形因正 scalar 曲率导致 Seiberg-Witten 不变量消失时，该 SO(3) 版本的不变量是否仍保持非平凡？
• RQ3 为何标准的维数计数论证无法说明该不变量在 $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 这类连通和上消失？
• RQ4 该不变量在连通和操作下是否存在类似于 Fintushel-Stern 结果的粘合公式？
• RQ5 当其他不变量为平凡时，该不变量能否检测到 $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上的光滑结构？

主要发现

• 不变量 $q_{2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2}^{u_1}$ 模 2 非平凡，具体为 $q^{u_1}_{\frac{7}{4},w,2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2}(-H_1+E, H_2-E) \equiv 1 \mod 2$。
• 尽管该流形具有正 scalar 曲率度量，其不变量的非平凡性仍通过粘合公式与 Kotschick 的计算得以确立。
• 标准的维数计数论证无法说明该不变量的消失，因为涉及的同调类无法在不违反偶自交条件的前提下被限制在 $Y_1 = \mathbb{CP}^2$ 与 $Y_2 = \mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上。
• 尽管所有已知的 Seiberg-Witten 不变量在 $2\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}}^2$ 上消失，该不变量仍保持非平凡，凸显了光滑 4-流形不变量的新来源。
• 该不变量不满足关于来自分量的同调类的朴素可加粘合公式，因为所需类具有奇自交数，因而无法定义该不变量。
• 该构造表明，$u_1$ 类与 $\mu([\Sigma])$ 类即使在全模空间非紧且通常的 Donaldson 不变量消失的情况下，也能检测模空间中的非平凡拓扑。