[论文解读] An Uncertainty Principle For Completely Positive Maps

Jeremy Levick|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2016

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过将互补量子通道的结构与相关矩阵的独立性拟阵联系起来，为完全正（CP）映射建立了不确定性原理。结果表明，该拟阵中的环控制着对偶通道的子代数结构，揭示了量子通道互补性与算子系统中线性相关性之间深刻的对偶关系。

ABSTRACT

We present an "uncertainty principle" for quantum channels, showing a relationship between the dimensions of the range of a channel and the range of its complement. We examine some interesting specific cases, and discuss consequences for privacy of quantum channels.

研究动机与目标

• 开发一种适用于完全正映射的量子不确定性原理，将该概念扩展至传统可观测量之外。
• 利用由Kraus算符导出的相关矩阵的独立性拟阵，表征互补量子通道的结构约束。
• 阐明 Choi 矩阵的 Gram 向量中的线性依赖性如何影响对偶通道在极小投影上的像。
• 建立相关矩阵拟阵中的环与对偶通道的双交换子代数中某些子代数相等性之间的对应关系。

提出的方法

• 利用 Choi-Jamiolkowski 同构将 CP 映射与其 Choi 矩阵关联，从而通过谱分解方法构造 Kraus 算符。
• 通过 Stinespring 拓展定义互补通道 Φᶜ，其中 Φᶜ(X) = (Tr⊗Id)(U(X⊗E₁₁)U*)，并从 Φ 的 Kraus 算符推导出其 Kraus 算符。
• 将互补通道的 Choi 矩阵表示为块矩阵，其块为形如 vᵢvⱼ* 的秩一矩阵，并构造一个相关矩阵 A，其元素 aᵢⱼ = ⟨vᵢ,vⱼ⟩。
• 对块矩阵应用 Schur 补分析，推导出半正定性的必要条件，从而得出结论：非对角块必须为秩一且与主向量对齐。
• 引入相关矩阵 A 的独立性拟阵，其中独立集对应于线性无关的列向量，而环则表示最小的线性相关子集。
• 证明：若一组指标在拟阵中构成环，则对偶通道 Φᶜ† 作用于任意极小投影的像在对应块分量上具有相等的特征值。

实验结果

研究问题

• RQ1 Choi 矩阵的 Gram 向量之间的线性依赖性如何约束互补通道的结构？
• RQ2 相关矩阵的独立性拟阵在确定对偶通道的子代数结构中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，对偶通道在极小投影上的像会生成一个块对角算符，且在某一子集的块上具有相等的特征值？
• RQ4 完全正映射的不确定性原理如何通过 Choi 矩阵、Kraus 算符与互补通道之间的相互作用体现？

主要发现

• 根据 Choi 定理，完全正映射的 Choi 矩阵是半正定的，当且仅当该映射是完全正的。
• 可通过 Choi 矩阵的正交特征向量经向量化与分块分解过程，导出 CP 映射的 Kraus 算符。
• 迹保持的 CP 映射的互补通道 Φᶜ 也是迹保持的，且可表示为 Φᶜ(X) = ∑ᵢⱼ Tr(Kⱼ*KᵢX)Eᵢⱼ，其中涉及 Kraus 算符的重叠。
• 若互补通道的 Choi 矩阵的非对角块为 aᵢⱼvᵢvⱼ* 形式，则相关矩阵 A（其元素为 aᵢⱼ）的秩等于原始 Choi 矩阵的秩。
• 相关矩阵 A 的独立性拟阵中的环对应于最小的指标集合，使得对偶通道 Φᶜ† 将极小投影映射为在环对应块上具有相等特征值的算符。
• 子代数 Φᶜ†(MD(Φᶜ†)) 等于双交换子代数 S′′_Φ，当且仅当拟阵的环控制了极小投影像中的线性依赖性。