[论文解读] An Uncertainty Principle for Discrete Signals

Sangnam Nam|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文通过分析连续域中周期化、局部化的函数所导出的容许信号，建立了有限长度信号的离散不确定性原理。结果表明，此类离散信号的时频不确定性乘积接近连续海森堡极限，离散高斯函数几乎达到最优，从而弥合了连续与离散时频分析之间的差距。

ABSTRACT

By use of window functions, time-frequency analysis tools like Short Time Fourier Transform overcome a shortcoming of the Fourier Transform and enable us to study the time- frequency characteristics of signals which exhibit transient os- cillatory behavior. Since the resulting representations depend on the choice of the window functions, it is important to know how they influence the analyses. One crucial question on a window function is how accurate it permits us to analyze the signals in the time and frequency domains. In the continuous domain (for functions defined on the real line), the limit on the accuracy is well-established by the Heisenberg's uncertainty principle when the time-frequency spread is measured in terms of the variance measures. However, for the finite discrete signals (where we consider the Discrete Fourier Transform), the uncertainty relation is not as well understood. Our work fills in some of the gap in the understanding and states uncertainty relation for a subclass of finite discrete signals. Interestingly, the result is a close parallel to that of the continuous domain: the time-frequency spread measure is, in some sense, natural generalization of the variance measure in the continuous domain, the lower bound for the uncertainty is close to that of the continuous domain, and the lower bound is achieved approximately by the 'discrete Gaussians'.

研究动机与目标

• 为填补有限离散信号不确定性原理的理解空白，特别是在离散傅里叶变换（DFT）的背景下。
• 探究连续域中的海森堡不确定性原理是否在有限长度信号中存在有意义的离散类比。
• 表征用于时频分析的离散窗函数——尤其是离散高斯函数——的最优性。
• 基于连续类比，为离散设置中离散高斯函数的近似最优性提供理论依据。
• 为从局部化、周期化函数导出的一类容许离散信号，建立其时频不确定性乘积的界。

提出的方法

• 将 ℂ^N 中的容许信号定义为 √N-周期化、(N,ε)-局部化函数 f ∈ L²(ℝ) 的均匀采样，确保其光滑性与衰减性。
• 利用泊松求和公式，将采样信号 x_f 的 DFT 与原函数 f 的傅里叶变换相关联。
• 应用帕塞瓦尔恒等式与矩逼近技术，比较 f 及其离散对应物 x_f 的方差度量。
• 利用 f、f'、f̂ 和 f̂' 的 (N,ε)-局部化条件，界定连续与离散域之间方差近似误差。
• 推导出时频方差乘积的界：v_x v_x̂ ∈ [(1−√ε)²/(16π²), (1+√ε)²/(16π²)]
• 证明当 ε 较小时，不确定性乘积可任意接近连续海森堡界 1/(16π²)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有限长度信号建立一个镜像连续海森堡不确定性原理的离散不确定性原理？
• RQ2 离散高斯函数在离散设置中对时频局部化的逼近程度如何？
• RQ3 离散信号的时频方差在多大程度上能逼近连续局部化函数的方差？
• RQ4 对连续原型函数施加何种条件，可确保其离散采样产生近似最优的时频分析窗函数？
• RQ5 离散高斯函数在容许类中的近似最优性是否可推广至 ℂ^N 中的所有信号？

主要发现

• 对于由 (N,ε)-局部化函数导出的容许信号，时频不确定性乘积满足 v_x v_x̂ ≥ (1−√ε)²/(16π²)。
• 当 ε 较小（例如 ε ≈ 0.01）时，下界与连续海森堡极限 1/(16π²) 的差距在 1% 以内。
• 离散高斯函数——通过周期化并采样高斯函数获得——实现的不确定性乘积非常接近理论最小值。
• 由于泊松求和公式，采样信号 x_f 的 DFT 等于 f 的傅里叶变换的采样版本，即 x̂_f = x_f̂。
• 数值证据表明，当 N 较大且函数高度局部化时，不确定性界确实非常接近 1/(16π²)。
• 结果表明，离散高斯函数在离散时频分析中几乎是最佳窗函数，尤其当原始高斯函数在时频域均高度集中时。