[论文解读] An unfitted discontinuous Galerkin scheme for conservation laws on evolving surfaces

Christian Engwer, Thomas Ranner+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 6被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种非拟合不连续伽辽金（DG）方法，用于在无需网格与曲面匹配的情况下求解演化曲面上的守恒律。通过使用曲面的水平集表示，并在固定背景网格上求解标准输运问题，该方法即使在复杂几何形状下也能实现质量守恒和最优收敛率（L¹和L²范数下阶数为1），数值结果证实了其在收缩圆形曲面上的鲁棒性与准确性。

ABSTRACT

Motivated by considering partial differential equations arising from conservation laws posed on evolving surfaces, a new numerical method for an advection problem is developed and simple numerical tests are performed. The method is based on an unfitted discontinuous Galerkin approach where the surface is not explicitly tracked by the mesh which means the method is extremely flexible with respect to geometry. Furthermore, the discontinuous Galerkin approach is well-suited to capture the advection driven by the evolution of the surface without the need for a space-time formulation, back-tracking trajectories or streamline diffusion. The method is illustrated by a one-dimensional example and numerical results are presented that show good convergence properties for a simple test problem.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的数值方法，用于求解时间演化曲面上的对流主导守恒律，且无需曲面拟合网格。
• 通过将问题重新表述为在非拟合区域上的标准输运方程，避免空间-时间格式、回溯轨迹或流线扩散的复杂性。
• 在数值格式中实现离散质量守恒，精度达到机器精度。
• 在涉及演化曲面的基准问题上，特别是由曲面运动驱动的对流问题中，展示收敛性与准确性。
• 为未来扩展至时变问题和非零通量项（flux terms）奠定基础。

提出的方法

• 该方法采用非拟合不连续伽辽金格式，其中曲面通过水平集函数 Φ(x,t) 隐式表示，从而避免了将网格拟合到演化曲面的需求。
• 曲面演化通过由微分同胚参数化 G(·,t) 的时间导数定义的速度场 w 描述，从而实现对曲面运动的刻画。
• 控制方程被重新表述为物质导数问题：∂•u + u∇Γ·w + ∇Γ·q = 0，其中在所呈现的案例中 q = 0，因此退化为由曲面运动引起的纯对流。
• 在固定背景网格上应用不连续伽辽金变分格式，通过在单元界面处计算数值通量来处理不连续性并确保稳定性。
• 通过水平集函数实现对曲面测度的一致积分，从而在切割单元上实现无需重划分网格的精确积分。
• 该格式采用分段多项式形函数（报告测试中 k=0），并通过在单元边界上弱强制解的连续性来实现质量守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 非拟合不连续伽辽金方法是否能在无需曲面拟合网格的情况下，实现演化曲面上守恒律的稳定且精确的解？
• RQ2 当曲面演化并切割背景网格时，该方法是否仍能在离散设置中将质量守恒至机器精度？
• RQ3 在收缩圆形曲面上的模型对流问题中，L¹、L² 和 L∞ 范数下的收敛率能达到多少？
• RQ4 对于非光滑初始数据，该方法在数值扩散和间断锐度方面表现如何？
• RQ5 该方法未来能否扩展至时变问题和具有非零通量项（q ≠ 0）的方程？

主要发现

• 在 h-型加密下，该方法在 L¹ 和 L² 范数下均达到约 1 阶的最优收敛率，当网格足够精细时收敛率趋近于 1。
• 在 L∞ 范数下，粗网格分辨率下的收敛率不够一致，但当 h < 0.01 时似乎趋近于 1 阶，表明随着网格细化精度提高。
• 离散质量守恒至机器精度：所有加密级别下解的总质量保持在 6.283185 ± 1e-6 之间，与解析值 2π 密切匹配。
• 该方法能有效捕捉在收缩圆上从初始浓度（u₀ ≡ 1）到最终浓度（u ≡ 2）的对流过程，数值扩散极小。
• 对于具有锐利跃变（二元分布）的非恒定初始数据，该方法能合理保持间断的锐度，尽管观察到一定数值扩散，可通过使用高阶单元和通量限制器加以缓解。
• 即使曲面切割背景网格，该方法仍保持稳定与准确，展现出在无需重划分网格的情况下处理复杂演化几何的鲁棒性。