[论文解读] An Unified Approach on Constructing of MDS Self-dual Codes via Reed-Solomon Codes

Aixian Zhang, Keqin Feng|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Coding theory and cryptography参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种统一框架，利用广义和扩展广义Reed-Solomon码在有限域上构造MDS自偶码。通过运用二次特征函数和范数映射的共同代数视角重新诠释先前结果，作者简化了证明，并推导出多种长度下MDS自偶码的新构造，尤其在域大小和码参数满足特定条件时。

ABSTRACT

Based on the fundamental results on MDS self-dual codes over finite fields constructed via generalized Reed-Solomon codes \cite{JX} and extended generalized Reed-Solomon codes \cite{Yan}, many series of MDS self-dual codes with different length have been obtained recently by a variety of constructions and individual computations. In this paper, we present an unified approach to get several previous results with concise statements and simplified proofs, and some new constructions on MDS self-dual codes. In the conclusion section we raise two open problems.

研究动机与目标

• 将基于广义和扩展广义Reed-Solomon码的现有MDS自偶码构造统一到一个理论框架下。
• 为有限域上已知的MDS自偶码结果提供简洁统一的陈述和简化的证明。
• 利用所提出的统一框架推导出新的MDS自偶码族。
• 识别出保证GRS和EGRS码自偶性的基域和码参数的结构条件。
• 提出关于MDS自偶码长度完全表征以及非素数域上MDS主猜想有效性的开放问题。

提出的方法

• 作者使用$\mathbb{F}_q^*$上的二次特征函数$\eta_q$重新表述GRS和EGRS码自偶性的必要与充分条件。
• 建立统一准则：当$n$为偶数时，$\mathcal{C}_{grs}$自偶当且仅当对所有$a \in \mathcal{S}$，$\eta_q(\Delta_{\mathcal{S}}(a))$为常数；当$n$为奇数时，$\mathcal{C}_{egrs}$自偶当且仅当对所有$a \in \mathcal{S}$，$\eta_q(-\Delta_{\mathcal{S}}(a)) = 1$。
• 该方法利用域范数映射和乘法子群，将来自较小域$\mathbb{F}_r$的构造提升到$\mathbb{F}_q$，其中$q = p^m$且$r$整除$q-1$。
• 通过选择$\mathcal{M} \subset \mathbb{F}_r^*$，使其满足Vandermonde积的二次特征值一致，该方法在$\mathbb{F}_q$上构造出新的MDS自偶码。
• 利用$\mathbb{F}_q^*$中子群$B = \langle \theta^{r-1} \rangle$的乘法陪集结构，将$\mathcal{M}$扩展为$\mathbb{F}_q$中的更大集合$\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$。
• 该方法系统地生成新的码长$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1}$或$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1$，具体取决于奇偶性与域条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将基于GRS和EGRS码的现有MDS自偶码构造统一到单一理论框架下？
• RQ2 确保GRS和EGRS码自偶性的评估集$\mathcal{S} \subset \mathbb{F}_q$的最小且最一般条件是什么？
• RQ3 如何利用范数映射和二次特征性质系统地生成$\mathbb{F}_q$上的新MDS自偶码？
• RQ4 当$q = p^m$且$p \geq 3$时，对于哪些偶数长度$n$，存在$\mathbb{F}_q$上的MDS自偶码？
• RQ5 MDS主猜想对$\mathbb{F}_q$上满足$m \geq 2$的MDS自偶码是否成立？

主要发现

• 本文使用二次特征$\eta_q$统一表征了GRS和EGRS码的自偶MDS码。
• 证明了若$l$为偶数且$l \in \Sigma(g,r)$，则$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} \in \Sigma(g,q)$，其中$\Sigma(g,q)$是$\mathbb{F}_q$上存在MDS自偶码的偶数长度集合。
• 证明了若$l$为奇数且$l+1 \in \Sigma(eg,r)$，则$n = l \cdot \frac{q-1}{r-1} + 1 \in \Sigma(eg,q)$，将构造扩展至扩展码。
• 作者推导出：当$q \equiv 3 \pmod{4}$时，不存在长度满足$n \equiv 2 \pmod{4}$的自偶码，意味着$n \notin \Sigma(q)$。
• 该方法通过范数和特征相容性，从较小域$\mathbb{F}_r$提升解，实现了新的MDS自偶码构造。
• 本文确立了此类码的存在性关键取决于$l$的奇偶性以及评估集上积$\Delta_{\mathcal{S}}(a)$的二次特征行为。