[论文解读] An unified material interpolation for topology optimization of multi-materials

Bing Yi, Gil Ho Yoon+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2022

Topology Optimization in Engineering被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种基于映射的多材料拓扑优化材料插值函数，通过设计变量的p-范数与1-范数之比，确保所有材料的建模对称且清晰，促进0/1材料分布。该方法提高了向纯材料或孔隙状态的收敛性，实现更易制造的清晰材料分布，并可在不引入中间密度的情况下，实现多材料的可扩展实施。

ABSTRACT

Topology optimization is one of the engineering tools for finding efficient design. For the material interpolation scheme, it is usual to employ the SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) or the homogenization based interpolation function for the parameterization of the material properties with respect to the design variables assigned to each finite element. For topology optimization with single material design, i.e., solid or void, the parameterization with 1 for solid and 0 for void becomes relatively straight forward using a polynomial function. For the case of multiple materials, some issues of the equality modeling of each material and extcolor{red}{the clear 0, 1 result of each element for the topology optimization} issues become serious because of the curse of the dimension. To relieve these issues, this research proposes a new mapping based interpolation function for multi-material topology optimization. Unlike the polynomial based interpolation, this new interpolation is formulated by the ratio of the $p$-norm of the design variables to the 1-norm of the design variable multiplied by the design variable for a specific material. With this alternative mapping based interpolation function, each material are equally modeled and extcolor{red}{ the clear 0, 1 result of each material for the multi-material topology optimization model} can be improved. This paper solves several topology optimization problems to prove the validity of the present interpolation function.

研究动机与目标

• 解决多材料拓扑优化中材料建模对称性与清晰度的挑战。
• 克服基于多项式插值（如SIMP）在处理高维多材料问题时的局限性。
• 开发一种可扩展、对称的插值函数，使所有材料受到同等对待，避免模糊的中间密度。
• 提高每个单元中各材料向二值（0/1）解的收敛性，以利于制造。
• 通过统一的数学框架，实现向包含更多材料问题的简便扩展。

提出的方法

• 所提出的方法采用基于映射的插值函数，定义为设计变量的p-范数与1-范数之比，再乘以各材料的个体设计变量。
• 各材料的有效性能通过该归一化比值进行参数化，确保所有材料在处理上对称。
• 设计变量可直接表示材料的存在（1）或缺失（0），无需在体积约束中使用复杂组合。
• 该方法避免使用SIMP中常见的多项式或指数函数，转而依赖基于范数的数学映射。
• 该公式在标准拓扑优化框架中实现，结合有限元分析与敏感性分析。
• 通过三材料基准问题验证了该方法，结果与SIMP和DMO方法进行对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在插值方案中实现多材料拓扑优化中所有材料的对称且等同的处理？
• RQ2 基于范数的插值函数是否能改善向清晰0/1材料状态的收敛性，而无需中间密度？
• RQ3 与现有SIMP和基于DMO的方法相比，该方法在柔度和解的清晰度方面表现如何？
• RQ4 该方法是否可轻松扩展至三组以上材料的问题？
• RQ5 使用p-范数与1-范数之比是否能带来更鲁棒且更易制造的设计？

主要发现

• 所提出的方法在单元中实现了清晰的0/1材料分布，与SIMP和DMO方法相比，显著减少了中间密度单元的数量。
• 在三材料问题中，各材料体积约束相等（V₁=V₂=V₃=0.5/3）时，该方法的柔度为0.279，优于扩展SIMP方法（0.261）和DMO方法（0.170），在解的清晰度与对称性方面表现更优。
• 该方法成功生成了各材料明确分离的优化布局，结果中红色（刚性，E=5）、青色（柔性，E=2）和黄色（软性，E=1）材料清晰可辨。
• 所提出的插值函数使设计变量可直接解释为材料存在的指示器，简化了体积约束的实施。
• 该方法在多于三组材料的问题中表现出良好的可扩展性与实现简便性，如补充代码所示。
• 结果表明，基于映射的方法避免了SIMP中复杂的变量组合，从而带来更直观且稳定的优化过程。