[论文解读] An upper bound for the height for regular affine automorphisms of A^n

ChongGyu Lee|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文证明了川口猜想：对于所有 $ n \geq 2 $ 维的 $\Delta^n$ 上的正规仿射自同构，其典范高度下界成立，扩展了其对 $ n=2 $ 的早期结果。通过迭代爆破实现奇点消除，并在所得代数簇上应用交点理论，作者证明了除子 $ D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H $ 是有效除子，从而推出高度不等式，并验证了此类映射在所有维度下典范高度构造的有效性。

ABSTRACT

In 2006, Kawaguchi proved a lower bound for height of h(f(P)) when f is a regular affine automorphism of A^2, and he conjectured that a similar estimate is also true for regular affine automorphisms of A^n for n>2. In this paper we prove Kawaguchi's conjecture. This implies that Kawaguchi's theory of canonical heights for regular affine automorphisms of projective space is true in all dimensions.

研究动机与目标

• 证明川口猜想：对所有 $ n \geq 2 $，正规仿射自同构 $ f $ 在 $\Delta^n$ 上存在典范高度下界，扩展其对 $ n=2 $ 的早期结果。
• 通过证明所需的高度不等式，验证川口理论在所有维度下对正规仿射自同构的典范高度构造的有效性。
• 通过迭代爆破方法，解决 $ f $ 和 $ f^{-1} $ 的有理扩张 $\phi_0$ 和 $\psi_0$ 的奇点，构造一个公共的解析化簇 $ U $。
• 在解析化 $ U $ 上计算拉回除子 $\pi_U^*H$、$\phi_U^*H$ 和 $\psi_U^*H$，并证明组合式 $ D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H $ 是有效除子。

提出的方法

• 应用 Hironaka 的奇点消除定理，通过迭代的单峰变换构造光滑簇 $ V $，以消除扩展自 $ f $ 的有理映射 $\phi_0$ 的奇点，类似地为 $\psi_0 $ 构造 $ W $。
• 定义解析化 $ V $ 的 Picard 群为 $ \operatorname{Pic}(V) = \mathbb{Z}H_V \oplus \mathbb{Z}E_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}E_k $，其由无穷远超平面的严格提升与例外除子生成。
• 通过合并解析化 $ V $ 和 $ W $，构造 $ f $ 与 $ f^{-1} $ 的公共解析化 $ U $，并在 $ U $ 上定义拉回除子 $\pi_U^*H$、$\phi_U^*H$ 与 $\psi_U^*H $。
• 计算除子 $ D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H $，并通过验证所有系数非负，证明其为有效除子。
• 利用 $ D $ 的有效性，推导出高度不等式 $\frac{1}{d}h(f(P)) + \frac{1}{d'}h(f^{-1}(P)) > \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)h(P) + C $，从而确认川口猜想。
• 利用已证明的高度不等式，验证川口定义的典范高度 $\widehat{h}(P) $ 满足函数方程 $\frac{1}{d}\widehat{h}(f(P)) + \frac{1}{d'}\widehat{h}(f^{-1}(P)) = \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\widehat{h}(P) $，且仅在周期点处为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 川口对 $\mathbb{A}^2$ 上正规仿射自同构的高度下界不等式是否可推广至所有 $ n \geq 3 $ 维？
• RQ2 能否使用相同的函数方程，将正规仿射自同构的典范高度理论推广至 $\mathbb{A}^2$ 以外的维度？
• RQ3 在 $ f $ 与 $ f^{-1} $ 的公共解析化 $ U $ 上，除子 $ D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H $ 是否有效？
• RQ4 通过爆破 $\mathbb{P}^n$ 以消除 $ f $ 与 $ f^{-1} $ 的奇点所得到的解析化簇 $ U $ 的 Picard 群结构为何？
• RQ5 在公共解析化 $ U $ 上，拉回除子 $\phi_U^*H$、$\psi_U^*H $ 与 $\pi_U^*H $ 之间有何关系，以确保高度不等式成立？

主要发现

• 本文证明了川口猜想：对任意 $\mathbb{A}^n$ 上的正规仿射自同构 $ f $，对所有 $ P \in \mathbb{A}^n(\overline{\mathbb{Q}}) $，高度不等式 $\frac{1}{d}h(f(P)) + \frac{1}{d'}h(f^{-1}(P)) > \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)h(P) + C $ 成立，其中 $ d = \deg f $，$ d' = \deg f^{-1} $，$ C $ 为与 $ P $ 无关的常数。
• 在公共解析化 $ U $ 上，除子 $ D = \frac{1}{d}\phi_U^*H + \frac{1}{d'}\psi_U^*H - \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\pi_U^*H $ 是有效除子，这是证明高度界的关键几何要素。
• 定义为 $\widehat{h}(P) = \widehat{h}_{+}(P) - \widehat{h}_{-}(P) $ 的典范高度满足函数方程 $\frac{1}{d}\widehat{h}(f(P)) + \frac{1}{d'}\widehat{h}(f^{-1}(P)) = \left(1 + \frac{1}{dd'}\right)\widehat{h}(P) $，确认其与高度界的一致性。
• 典范高度 $\widehat{h}(P) $ 当且仅当 $ P $ 是 $ f $-周期点时为零，这将川口对周期点的刻画推广至所有维度。
• 对 $\mathbb{A}^3$ 上的 Hénon 映射 $ f(x,y,z) = (y, z+y^2, x+z^2) $，解析化过程给出了明确的拉回除子公式，显示 $ D \geq 0 $，从而在具体情形中确认了普遍结果。
• 解析化 $ U $ 的 Picard 群由无穷远超平面的严格提升 $ H_U $ 与例外除子 $ E_i, F_j $ 生成，满足 $ \operatorname{Pic}(U) = \mathbb{Z}H_U \oplus \mathbb{Z}E_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}E_k \oplus \mathbb{Z}F_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}F_l $。