[论文解读] An upper bound for the number of perfect matchings in graphs

Shmuel Friedland|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 4被引用 12

一句话总结

该论文为具有偶数个顶点的无向简单图中的完美匹配数量建立了上界，该上界以顶点的度数表示：$\mathop{\mathrm{perfmat}}\nolimits G \leq \prod_{v\in V} (\deg v)!^{1/(2\deg v)}$。该界推广了针对(0,1)对称矩阵（主对角线为零）的hafnian的Bregman-Minc不等式，且当图是完全二分图的不相交并时达到紧致性。

ABSTRACT

We give an upper bound on the number of perfect matchings in an undirected simple graph $G$ with an even number of vertices, in terms of the degrees of all the vertices in $G$. This bound is sharp if $G$ is a union of complete bipartite graphs. This bound is a generalization of the upper bound on the number of perfect matchings in bipartite graphs on $n+n$ vertices given by the Bregman-Minc inequality for the permanents of $(0,1)$ matrices.

研究动机与目标

• 基于图中顶点的度数，推导出具有偶数个顶点的无向简单图中完美匹配数量的上界。
• 将原始针对(0,1)-矩阵永久行列式（permanent）的Bregman-Minc不等式，推广至主对角线为零的对称(0,1)-矩阵的hafnian。
• 在图是完全二分图的不相交并时，证明该上界的紧致性。
• 提供一种类似于Schrijver对Bregman-Minc不等式的证明技术，但适用于hafnian情形。

提出的方法

• 证明通过顶点数的归纳法进行，利用通过删除匹配顶点对的hafnian递归展开。
• 将归纳假设应用于通过移除一对匹配顶点形成的子图，使用hafnian递推公式：$\mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A = \sum_{j \neq i} a_{ij} \mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A(i,j)$。
• 该方法通过利用$x \log x$的凸性以及对邻居配置的组合计数，对矩阵的hafnian进行上界估计，其形式为顶点的阶乘函数乘积。
• 分析每个顶点在所有完美匹配中对hafnian的贡献，根据其与匹配对的公共邻居数量区分不同情形。
• 关键步骤使用引理3.3，表明涉及阶乘的某个表达式随非相邻对数量的增加而增加，从而在约束条件下实现最大化。
• 最终不等式通过重排乘积并应用不等式$\prod_{\alpha \in \mathcal{M}} \text{terms} \leq \left( \prod_{i=1}^{2n} (r_i!)^{1/(2r_i)} \right)^{2n \cdot \mathop{\mathrm{hafn}}\nolimits A}$推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅已知顶点度数的条件下，一般无向图中完美匹配数量的最紧致上界是什么？
• RQ2 Bregman-Minc不等式对永久行列式的适用性能否推广至主对角线为零的对称(0,1)-矩阵的hafnian？
• RQ3 在何种图结构下，所提出的上界达到等式？
• RQ4 完美匹配中邻居关系的结构如何影响hafnian的上界？

主要发现

• 任何具有偶数个顶点的无向简单图中，完美匹配数量的上界为$\prod_{v \in V} (\deg v)!^{1/(2\deg v)}$，其中$0^{1/0} = 0$。
• 当图是完全二分图（如$K_{r,r}$）的不相交并时，该上界达到紧致性，且等式成立。
• 对于完全图$K_{2n}$，该上界给出$\prod_{i=1}^{2n} (2n-1)!^{1/(2(2n-1))}$，其形式与已知的完美匹配数量$\frac{(2n)!}{n! \cdot 2^n}$一致。
• 该证明技术源自Schrijver对Bregman-Minc不等式的证明，通过归纳法和阶乘项的凸性论证建立上界。
• 通过分析每个顶点在所有完美匹配中对hafnian的贡献，证明了该不等式是紧致的，最大值在邻居重叠最小时达到。
• 该上界将Bregman-Minc不等式从永久行列式推广至hafnian，扩展了其在非二分图和对称矩阵中的适用范围。