[论文解读] An Upper Bound on the Size of Obstructions for Bounded Linear Rank-Width

Mamadou Moustapha Kanté, O‐joung Kwon+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 18被引用 7

一句话总结

该论文在固定有限域上，建立了图与拟阵的线性秩宽至多为 p 时，其禁止旋转-极小子式大小的二重指数上界，该上界以 p 为变量。通过将 Lagersgren 的伪极小序推广至旋转-极小子式的语境，结合 s-标记图与代数矩阵运算，作者证明了有界线性秩宽的障碍是有限的且可显式界定，从而解决了关于线性秩宽为 p 时顶点-极小子式障碍的一个开放问题。

ABSTRACT

Let G be a minor-closed graph class and let G be an n-vertex graph. We say that G is a k-apex of G if G contains a set S of at most k vertices such that G⧵S belongs to G. Our first result is an algorithm that decides whether G is a k-apex of G in time 2^poly(k)⋅n². This algorithm improves the previous one, given by Sau, Stamoulis, and Thilikos [ICALP 2020, TALG 2022], whose running time was 2^poly(k)⋅n³. The elimination distance of G to G, denoted by ed_G(G), is the minimum number of rounds required to reduce each connected component of G to a graph in G by removing one vertex from each connected component in each round. Bulian and Dawar [Algorithmica 2017] proved the existence of an FPT-algorithm, with parameter k, to decide whether ed_G(G) ≤ k. This algorithm is based on the computability of the minor-obstructions and its dependence on k is not explicit. We extend the techniques used in the first algorithm to decide whether ed_G(G) ≤ k in time 2^{2^{2^poly(k)}}⋅n². This is the first algorithm for this problem with an explicit parametric dependence in k. In the special case where G excludes some apex-graph as a minor, we give two alternative algorithms, one running in time 2^{2^O(k²log k)}⋅n² and one running in time 2^{poly(k)}⋅n³. As a stepping stone for these algorithms, we provide an algorithm that decides whether ed_G(G) ≤ k in time 2^O(tw⋅ k + tw log tw)⋅n, where tw is the treewidth of G. This algorithm combines the dynamic programming framework of Reidl, Rossmanith, Villaamil, and Sikdar [ICALP 2014] for the particular case where G contains only the empty graph (i.e., for treedepth) with the representative-based techniques introduced by Baste, Sau, and Thilikos [SODA 2020]. In all the algorithmic complexities above, poly is a polynomial function whose degree depends on G, while the hidden constants also depend on G. Finally, we provide explicit upper bounds on the size of the graphs in the minor-obstruction set of the class of graphs E_k(G) = {G ∣ ed_G(G) ≤ k}.

研究动机与目标

• 解决关于线性秩宽至多为 p 的图的禁止顶点-极小子式最大大小的开放问题。
• 通过代数与图论工具，将障碍界理论从路径宽推广至线性秩宽。
• 为线性秩宽提供构造性、显式的障碍大小上界，从而支持固定参数可追踪算法。
• 将结果推广至在固定有限域上可表示的拟阵，建立路径宽有界拟阵的极小子式障碍界。

提出的方法

• 通过 s-标记图，将 Lagersgren 的伪极小序适应至旋转-极小子式与线性秩宽的语境。
• 引入边界 s-标记图以建模部分结构及与旋转-极小子式关系兼容的合并操作。
• 使用有限域上的（斜）对称矩阵的代数运算来表示与操作图与拟阵结构。
• 利用 σ-对称矩阵与基本图的框架，证明旋转-极小子式与线性秩宽的结构定理。
• 通过表示论，建立拟阵中的极小子式障碍与图中旋转-极小子式障碍之间的对应关系。
• 利用拟阵路径宽与图线性秩宽之间的联系，实现在不同领域间传递边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 线性秩宽至多为 p 的图的禁止顶点-极小子式可能的最大大小是多少？
• RQ2 有界线性秩宽的障碍集大小是否可显式界定，若可，如何界定？
• RQ3 对于 σ-对称矩阵，是否存在与域大小无关的障碍大小统一上界？
• RQ4 图中旋转-极小子式障碍与有界路径宽拟阵的极小子式障碍之间有何关系？
• RQ5 障碍大小的二重指数上界是否紧致，或可进一步优化？

主要发现

• 该论文建立了图的线性秩宽至多为 p 时，其禁止顶点-极小子式的大小的二重指数上界 2^O(p)。
• 对于固定有限域 F 上的图，其禁止旋转-极小子式障碍的大小被界定为 |F||F|O(p)，即关于 p 的二重指数。
• 该界同样适用于路径宽至多为 p 的 F-可表示拟阵的极小子式障碍。
• 作者证明了线性秩宽至多为 p 的障碍集是有限且可显式界定的，从而首次实现了测试线性秩宽的固定参数可追踪算法。
• 该界通过将 Lagersgren 的伪极小序新颖地推广至使用 s-标记图与矩阵代数的旋转-极小子式关系而获得。
• 该结果解决了 Jeong、Kwon 与 Oum 提出的关于此类障碍界存在的开放问题。