[论文解读] Analogs of Cuntz algebras on $L^p$ spaces

N. Christopher Phillips|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research被引用 6

一句话总结

本文通过在 $L^p(X,\mu)$ 空间上定义莱维特定律代数 $L_d$ 的空间表示，引入了 $L^p$-空间中 Cuntz 代数的类比，记为 $\mathcal{O}_d^p$。对于固定的 $d$ 和 $p \neq 2$，证明了所有此类空间表示均产生等距同构的巴拿赫代数 $\mathcal{O}_d^p$，并建立了强烈的 $p$-依赖性：当 $p_1 \neq p_2$ 时，$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 与 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 之间不存在非零连续同态。这揭示了不同 $L^p$-设定之间的根本非同构性。

ABSTRACT

For $d = 2, 3, \ldots$ and $p \in [1, \infty),$ we define a class of representations $ρ$ of the Leavitt algebra $L_d$ on spaces of the form $L^p (X, μ),$ which we call the spatial representations. We prove that for fixed $d$ and $p,$ the Banach algebra ${\mathcal{O}_{d}^{p}}$ obtained as the closure of the image of $L_d$ under the representation $ρ$ is the same for all spatial representations $ρ.$ When $p = 2,$ we recover the usual Cuntz algebra ${\mathcal{O}}_{d}.$ We give a number of equivalent conditions for a representation to be spatial. We show that for distinct $p_1$ and $p_2$ in $[1, \infty)$ and arbitrary $d_1$ and $d_2$ in $\{ 2, 3, \ldots \},$ there is no nonzero continuous homomorphism from ${\mathcal{O}}_{d_1}^{p_1}$ to ${\mathcal{O}}_{d_2}^{p_2}.$

研究动机与目标

• 为 $p \in [1,\infty)$ 的 $L^p$ 空间定义并研究 Cuntz 代数的类比，推广 $p=2$ 的情形。
• 识别出一类自然的表示——空间表示——其能产生行为良好的 $L^p$ 类比。
• 证明对于固定的 $d$ 和 $p \neq 2$，$L_d$ 在 $L^p$ 空间上的所有空间表示均产生等距同构的巴拿赫代数 $\mathcal{O}_d^p$。
• 建立强烈的 $p$-依赖性：当 $p_1 \neq p_2$ 时，即使 $d_1 \neq d_2$，$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 与 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 之间也不存在非零连续同态。
• 将理论扩展至无穷维的莱维特定律代数和科恩代数，尽管主要结果集中于有限 $d$。

提出的方法

• 将 $L_d$ 在 $L^p(X,\mu)$ 空间上的空间表示定义为：其标准生成元构成一个 $L^p$-类比的行等距。
• 利用 Lamperti 定理刻画 $L^p$ 空间上的等距映射为半空间形式，即它们由测度空间之间的可测映射导出。
• 通过可测集的布尔 $\sigma$-代数模零测集的同态，发展 $L^p$ 空间上半空间部分等距的理论。
• 建立表示为空间表示的等价条件，包括涉及伴随算子和在 $L^p$-函数上作用的条件。
• 证明 $L_d$ 在 $L^p$ 空间上的所有空间表示在 $L_d$ 上诱导相同的范数，从而导致等距同构的巴拿赫代数 $\mathcal{O}_d^p$。
• 通过涉及 $L^p$-对偶空间的对偶性论证，以及 $\|a^\prime\| = \|a\|$ 的事实，证明当 $1/p + 1/q = 1$ 时，$\mathcal{O}_d^p$ 与 $\mathcal{O}_d^q$ 是等距反同构的巴拿赫空间，尽管当 $p \neq 2$ 时它们作为巴拿赫代数并不同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^p$ 空间上，哪些条件能定义莱维特定律代数表示的自然类，使其产生良好的 Cuntz 代数类比？
• RQ2 对于固定的 $d$ 和 $p \neq 2$，$L_d$ 在 $L^p$ 空间上的所有空间表示是否在结果巴拿赫代数的等距同构意义下等价？
• RQ3 是否存在强烈的 $p$-依赖性，使得当 $p_1 \neq p_2$ 时，$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 与 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 之间甚至不存在非零连续同态？
• RQ4 $L^p$ 空间上的空间表示与半空间部分等距的理论是否足以证明唯一性与非同构性结果？
• RQ5 $L^p$ 类比的 Cuntz 代数与原始的 Cuntz 代数（$p=2$）以及其他不同 $p$ 下的类比相比，有何异同？

主要发现

• 对于固定的 $d$ 和 $p \in [1,\infty) \setminus \{2\}$，莱维特定律代数 $L_d$ 在 $L^p$ 空间上的所有空间表示均产生等距同构的巴拿赫代数，记为 $\mathcal{O}_d^p$。
• 代数 $\mathcal{O}_d^p$ 等距同构于 $L_d$ 在任意 $L^p$ 空间上空间表示的像的闭包，从而为每个 $d$ 和 $p \neq 2$ 建立了唯一的对象。
• 对于不同的 $p_1, p_2 \in [1,\infty)$ 及任意 $d_1, d_2 \in \{2,3,\ldots\}$，$\mathcal{O}_{d_1}^{p_1}$ 到 $\mathcal{O}_{d_2}^{p_2}$ 之间不存在非零连续同态，显示出强烈的 $p$-依赖性。
• 该结果不仅适用于 $L_d$，也适用于无穷维莱维特定律代数 $L_\infty$ 和科恩代数 $C_d$，表明非同构性结果具有广泛适用性。
• 尽管当 $1/p + 1/q = 1$ 时，$\mathcal{O}_d^p$ 与 $\mathcal{O}_d^q$ 作为巴拿赫空间是等距反同构的，但当 $p \neq 2$ 时它们作为巴拿赫代数并不同构，凸显了代数同构性的失败，尽管存在巴拿赫空间的对偶性。
• 不存在非零连续同态的证明依赖于对偶性论证，以及若存在此类同态，则 $L_\infty$ 在 $l^p(\mathbb{Z}_{>0})$ 上的空间表示将导致矛盾的事实，尤其当 $p_1 \neq p_2$ 时。