[论文解读] Analogues of Auslander-Yorke theorems for multi-sensitivity

Wen Huang, S. F. Kolyada+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文为拓扑动力系统中的多敏感性与稠密敏感性建立了奥尔施拉格-约克二分定理的类比。证明了极小系统要么是多敏感的，要么是其最大等度连续因子的几乎一对一扩张；并引入了拟周期等度连续点以细化遍历系统的二分法，表明这些系统要么是稠密敏感的，要么包含此类点。

ABSTRACT

In this paper we study multi-sensitivity and thick sensitivity for continuous surjective selfmaps on compact metric spaces. We show that multi-sensitivity implies thick sensitivity, and the converse holds true for transitive systems. Our main result is an analog of the Auslander-Yorke dichotomy theorem: a minimal system is either multi-sensitive or an almost one-to-one extension of its maximal equicontinuous factor. Furthermore, we refine it by introducing the concept of syndetically equicontinuous points: a transitive system is either thickly sensitive or contains syndetically equicontinuous points.

研究动机与目标

• 将经典的奥尔施拉格-约克二分法——敏感性或等度连续性——推广至更强形式的敏感性，如多敏感性与稠密敏感性。
• 研究极小系统在多敏感性下的结构，特别是其是否要么是多敏感的，要么是其最大等度连续因子的几乎一对一扩张。
• 通过引入拟周期等度连续点的概念，细化遍历系统的二分法，该概念通过拟周期集推广了等度连续性。
• 建立因子映射结构（特别是最大等度连续因子）与极小系统及遍历系统中敏感性性质之间的联系。
• 以返回时间的组合性质与拟周期性为基础，对多敏感性与稠密敏感性进行刻画。

提出的方法

• 利用维奇对极小系统中等度连续结构关系的刻画，分析关于最大等度连续因子的因子映射。
• 引入拟周期等度连续点的概念：若对任意 ε > 0，存在 x 的邻域 U，使得满足 diam(T^n U) < ε 的时间 n 的集合是拟周期集，则称点 x 为拟周期等度连续点。
• 应用拓扑动力系统中的结果，包括 Δ-集与 Δ*-集，以分析轨道中的重复出现与分离性。
• 使用几乎开因子映射的概念，将敏感性性质从因子系统提升至其扩张。
• 利用如下事实：极小系统不是稠密敏感的当且仅当其最大等度连续因子映射是近似关系的，且近似关系的几乎一对一扩张在剩余集中是同构的。
• 应用几乎殆周期系统理论及最大等度连续因子上纤维的结构，以刻画多敏感性。

实验结果

研究问题

• RQ1 奥尔施拉格-约克二分法能否推广至极小系统中的多敏感性？
• RQ2 在遍历系统中，稠密敏感性是否等价于多敏感性？
• RQ3 最大等度连续因子在判断极小系统是否为多敏感系统中起什么作用？
• RQ4 拟周期等度连续点如何细化遍历系统的经典二分法？
• RQ5 在何种条件下，极小系统是其最大等度连续因子的几乎一对一扩张？

主要发现

• 极小系统要么是多敏感的，要么是其最大等度连续因子的几乎一对一扩张，推广了经典的奥尔施拉格-约克二分法。
• 对遍历系统而言，稠密敏感性与多敏感性等价，建立了这两种更强形式敏感性的紧密联系。
• 可逆的极小系统要么是多敏感的，要么是几乎殆周期的，为这类系统提供了结构分类。
• 遍历系统要么是稠密敏感的，要么包含拟周期等度连续点，细化了阿金、奥尔施拉格与伯格的经典结果。
• 关于最大等度连续因子的因子映射是几乎一对一的，当且仅当系统不是稠密敏感的，提供了结构性判据。
• 拟周期等度连续点在几乎一对一因子映射下保持不变，且此类点存在当且仅当系统不是稠密敏感的。