[论文解读] Analysis and Optimization of Graph Decompositions by Lifted Multicuts

Andrea Horňáková, Jan-Hendrik Lange+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文提出提升多切（lifted multicuts）作为一种统一框架，用于分析和优化图分解，能够高效处理必须连接（must-join）和必须切割（must-cut）约束、基于度量的聚类比较，以及通过分支定界法实现的精确优化。主要贡献在于对提升多切多面体的多面体表征，以及高效的分离过程，从而实现对最小代价提升多切问题的精确求解，该问题推广了相关聚类，具有在计算机视觉和分割中的应用。

ABSTRACT

We study the set of all decompositions (clusterings) of a graph through its characterization as a set of lifted multicuts. This leads us to practically relevant insights related to the definition of a class of decompositions by must-join and must-cut constraints and related to the comparison of clusterings by metrics. To find optimal decompositions defined by minimum cost lifted multicuts, we establish some properties of some facets of lifted multicut polytopes, define efficient separation procedures and apply these in a branch-and-cut algorithm.

研究动机与目标

• 通过提升多切表征所有图分解，以建立聚类问题的统一框架。
• 研究必须连接和必须切割约束在定义分解类时的一致性与最大特异性。
• 定义并计算用于比较分解及约束定义的分解类的度量。
• 通过分支定界法结合高效分离过程，优化图分解，实现最小代价提升多切。
• 建立提升多切多面体的理论性质，并推导有效不等式以实现精确优化。

提出的方法

• 提升多切将标准多切扩展至超图，以显式表达路径连通性，从而完整表达组件连通性信息。
• 本文在扩展边集上定义了图分解与提升多切之间的一一对应关系。
• 提出提升多切的多面体模型，推导出定义面的不等式，并表征其结构。
• 设计了分离过程，以在分支定界优化过程中高效识别违反的不等式。
• 实现了一种分支定界算法，结合上述分离过程，求解最小代价提升多切问题。
• 通过部分提升多切定义分解及约束定义类之间的度量，支持在不同提升方案下的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否高效检查一组一致的必须连接与必须切割约束的可行性？
• RQ2 给定的一组一致约束是否具有最大特异性，即是否无法在不改变解集的前提下添加更多约束？
• RQ3 如何定义有意义的度量以比较分解及由约束定义的分解类？
• RQ4 提升多切多面体的结构特性是什么，使其能够实现高效优化？
• RQ5 能否通过结合有效分离的分支定界法，精确求解最小代价提升多切问题？

主要发现

• 必须连接与必须切割约束一致性的判定问题是NP完全的，但在一类子集约束下可多项式时间求解。
• 约束最大特异性的判定问题是NP难的，但在一类子集约束下可高效求解。
• 计算分解或约束定义类之间度量的问题在一般情况下是NP难的，但在一类子集约束下可高效求解。
• 本文确定了提升多切不等式构成提升多切多面体面的必要与充分条件。
• 设计了这些定义面不等式的分离过程，并将其集成到分支定界算法中，实现精确优化。
• 最小代价提升多切问题是相关聚类的推广，是NP难的，但可通过所提框架精确求解。