[论文解读] Analysis of a Canonical Labeling Algorithm for the Alignment of Correlated Erd\H{o}s-R\'enyi Graphs

Osman Emre Dai, Daniel Cullina+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Advanced Graph Neural Networks参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于对齐相关 Erdős-Rényi 随机图的无种子规范标签算法，在 O(n^{11/5} \log n) 时间内实现完美对齐。该方法首先将高程度顶点作为锚点进行匹配，然后使用到锚点的邻接关系的二进制签名进行最小距离二分图匹配，证明在特定边概率范围内以高概率成功。

ABSTRACT

Graph alignment in two correlated random graphs refers to the task of identifying the correspondence between vertex sets of the graphs. Recent results have characterized the exact information-theoretic threshold for graph alignment in correlated Erd\H{o}s-R\'enyi graphs. However, very little is known about the existence of efficient algorithms to achieve graph alignment without seeds. In this work we identify a region in which a straightforward $O(n^{11/5} \log n )$-time canonical labeling algorithm, initially introduced in the context of graph isomorphism, succeeds in aligning correlated Erd\H{o}s-R\'enyi graphs. The algorithm has two steps. In the first step, all vertices are labeled by their degrees and a trivial minimum distance alignment (i.e., sorting vertices according to their degrees) matches a fixed number of highest degree vertices in the two graphs. Having identified this subset of vertices, the remaining vertices are matched using a alignment algorithm for bipartite graphs.

研究动机与目标

• 开发一种无需依赖预对齐顶点对的无种子图对齐算法，适用于相关随机图。
• 刻画在何种信息论范围内，可通过高效算法实现完美对齐。
• 建立基于计算复杂度和成功概率的规范标签方法的理论性能边界。
• 弥合信息论阈值与实际高效图对齐算法之间的差距。

提出的方法

• 该算法采用两阶段方法：首先，识别两个图中度数最高的 h 个顶点，并通过度数排序进行匹配（即‘锚点’阶段）。
• 在第二阶段，每个剩余顶点被赋予一个长度为 h 的二进制签名向量，表示其与锚点顶点的邻接关系。
• 最终对齐通过在两个图中签名向量之间的最小距离匹配计算得出，等价于二分图匹配。
• 该方法依赖于使用切尔诺夫不等式和生成函数对度数分离和签名距离进行概率分析。
• 通过在顶点对上使用并集界和浓度不等式，推导出失败概率的界。
• 分析利用了在相关边分布下二分匹配性能的中间结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，规范标签算法可在无种子条件下对相关 Erdős-Rényi 图实现完美图对齐？
• RQ2 此类对齐的计算复杂度是多少？是否可被限制在亚二次时间范围内？
• RQ3 该算法的性能如何依赖于边概率 p 和锚点顶点数 h？
• RQ4 能否使用概率方法和浓度不等式严格刻画该算法的成功性？
• RQ5 基于度数的锚点选择在无附加信息条件下如何实现高效对齐？

主要发现

• 当边概率 p 满足 p ≥ c \cdot \frac{\log n}{n} 时，该算法以高概率实现完美图对齐，其中 c 为足够大的常数。
• 该算法运行时间为 O(n^{11/5} \log n)，相较于朴素方法有显著改进。
• 当非锚点顶点之间的度数分离超过阈值 k 时，该算法的成功概率以高概率成立。
• 锚点阶段的失败概率被界为 (2h + 1)e^{-\eta} / (1 - e^{-\eta})，其中 η 选择得当。
• 二分匹配阶段的成功概率至少为 1 - 2e^{-h\rho^2}，其中 ρ = \sqrt{q_0} - \sqrt{q_1}，且 q_0、q_1 由边共现概率导出。
• 理论分析确认，该算法在先前高效算法未被证明可成功运行的范围内仍能有效运作。