[论文解读] Analysis of a chemo-repulsion model with nonlinear production: The continuous problem and unconditionally energy stable fully discrete schemes

Francisco Guillén‐González, María Ángeles Rodríguez‐Bellido+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2018

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一句话总结

本文提出三种针对具有非线性生成项 $u^p$（$1<p<2$）的化学排斥模型的无条件能量稳定、质量守恒的全离散有限元格式。通过正则化与变分格式，作者证明了弱-强解的存在性，并通过数值模拟表明，US0 和 USε 格式保持能量衰减并满足离散能量不等式，而 UVε 格式尽管在精确能量意义下并非无条件能量稳定，但表现出更低的数值耗散。

ABSTRACT

We consider the following repulsive-productive chemotaxis model: Let $p\in (1,2)$, find $u \geq 0$, the cell density, and $v \geq 0$, the chemical concentration, satisfying \begin{equation}\label{C5:Am} \left\{ \begin{array} [c]{lll} \partial_t u - Δu - abla\cdot (u abla v)=0 \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0,\\ \partial_t v - Δv + v = u^p \ \ \mbox{in}\ Ω,\ t&gt;0, \end{array} ight. \end{equation} in a bounded domain $Ω\subseteq \mathbb{R}^d$, $d=2,3$. By using a regularization technique, we prove the existence of solutions of this problem. Moreover, we propose three fully discrete Finite Element (FE) nonlinear approximations, where the first one is defined in the variables $(u,v)$, and the second and third ones by introducing ${\boldsymbolσ}= abla v$ as an auxiliary variable. We prove some unconditional properties such as mass-conservation, energy-stability and solvability of the schemes. Finally, we compare the behavior of the schemes throughout several numerical simulations and give some conclusions.

研究动机与目标

• 通过正则化技术，建立具有非线性生成项 $u^p$（$1<p<2$）的化学排斥模型的弱-强解存在性。
• 设计在离散层面保持质量守恒与能量稳定性的全离散有限元格式。
• 从能量衰减、数值耗散与稳定性角度，比较三种格式 UVε、USε 与 US0 的数值性能。
• 分析格式相对于精确能量泛函 $\mathcal{E}_e(u,v)$ 及其离散残差 $RE_e(u^n,v^n)$ 的行为。
• 研究正则化解 $u^n_\varepsilon$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的非负性与收敛行为。

提出的方法

• 应用正则化技术，证明在 $p \in (1,2)$ 条件下，连续问题的弱-强解存在性。
• 提出三种全离散有限元格式：一种以 $(u,v)$ 为变量，另两种引入 $\boldsymbol{\sigma} = \nabla v$ 作为辅助变量。
• 通过变分格式与离散能量估计，证明所有格式均具有无条件可解性与质量守恒性。
• 在适当的网格约束下，针对修正能量 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$、$\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$ 与 $\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$，建立无条件能量稳定性。
• 对 $v$ 使用 $\mathbb{P}_1$-连续有限元，并引入正则化项 $\varepsilon$ 以控制 $\Pi^h(u^n_{\varepsilon-})$ 的 $L^2$-范数。
• 进行数值模拟，参数设置为 $k=10^{-5}$，$h=1/25$，$p=1.4$，初始条件为 $u_0 = 14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$，$v_0 = -14\cos(2\pi x)\cos(2\pi y)+14.0001$。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非线性生成项 $u^p$（$1<p<2$）的化学排斥模型是否允许弱-强解存在？
• RQ2 能否构造出在离散层面无条件能量稳定且质量守恒的全离散有限元格式？
• RQ3 在能量衰减与数值耗散方面，格式 US0、USε、UV 与 UVε 的表现如何比较？
• RQ4 对于格式，离散能量残差 $RE_e(u^n,v^n)$ 是否非正，从而表明相对于精确能量的离散能量稳定性？
• RQ5 正则化解 $u^n_\varepsilon$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的非负性与收敛行为如何？

主要发现

• 在 $p \in (1,2)$ 条件下，连续问题存在弱-强解，其存在性通过正则化技术得到证明。
• 在满足直角网格约束条件下，格式 UVε 与 USε 分别相对于修正能量 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,v)$ 与 $\mathcal{E}^h_\varepsilon(u,\boldsymbol{\sigma})$ 实现无条件能量稳定性。
• 格式 US0 在无需网格约束条件下，相对于 $\mathcal{E}^h(u,\boldsymbol{\sigma})$ 实现无条件能量稳定性。
• 数值模拟表明，所有四种格式（UV、US0、UVε、USε）的能量 $\mathcal{E}_e(u,v)$ 随时间单调递减。
• 格式 US0 与 USε 对所有 $t_n$ 满足 $RE_e(u^n,v^n) \leq 0$，表明其具有离散能量稳定性；而 UV 与 UVε 在某些 $t_n$ 处违反该条件。
• 尽管在精确能量意义下缺乏无条件能量稳定性，格式 UVε 表现出比 US0 与 USε 更低的数值耗散，且数值源项更小，因此在数值精度上更优。