[论文解读] Analysis of a Mixed Discontinuous Galerkin method for incompressible magnetohydrodynamics

Weifeng Qiu, Ke Shi|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于稳态不可压缩磁流体动力学（MHD）方程的混合间断伽辽金（DG）方法，利用针对间断多项式的新颖离散索博列夫嵌入估计，推导出最优先验误差估计。该方法在能量范数下对速度、磁场和压力实现了最优收敛率，对拉格朗日乘子则实现了次优但稳定的收敛，这是首次针对非线性MHD系统应用DG方法的此类分析。

ABSTRACT

In this paper we propose and analyze a mixed DG method for the stationary Magnetohydrodynamics (MHD) equations. The numerical scheme is based a recent work proposed by Houston et. al. for the linearized MHD. With a novel discrete Sobolev embedding type estimate for the discontinuous polynomials, we provide a priori error estimates for the method on the nonlinear MHD equations. In the smooth case, we have optimal convergence rate for the velocity, magnetic field and pressure in the energy norm, the Lagrange multiplier only has suboptimal convergence order. With the minimal regularity assumption on the exact solution, the approximation is optimal for all unknowns. To the best of our knowledge, this is the first a priori error estimates of DG methods for nonlinear MHD equations.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且精确的数值格式，用于求解稳态不可压缩磁流体动力学（MHD）方程。
• 将先前针对线性化MHD的工作扩展至完全非线性情形，采用混合间断伽辽金公式。
• 在精确解的正则性假设最小的前提下，为非线性MHD系统建立严格的先验误差估计。
• 分析所有解分量（包括拉格朗日乘子）在最优与次优收敛模式下的收敛行为。

提出的方法

• 为稳态MHD方程构建了一种混合间断伽辽金方法，引入速度、磁场、压力及一个拉格朗日乘子以强制满足不可压缩性。
• 对所有变量采用间断多项式逼近，实现局部质量守恒与局部自适应。
• 针对间断多项式推导出一种新颖的离散索博列夫嵌入型估计，用于控制误差分析中的非线性项。
• 分析基于inf-sup稳定性与一致性论证，结合插值误差估计与逆不等式。
• 该格式基于从MHD方程弱形式导出的变分形式，数值数值通量的选择确保了稳定性和一致性。
• 在精确解正则性假设最小的前提下，该方法对速度、磁场和压力在能量范数下实现了最优收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 混合间断伽辽金方法能否在非线性不可压缩MHD方程中对所有变量实现最优收敛？
• RQ2 在非线性MHD的混合DG格式中，拉格朗日乘子的收敛行为如何？
• RQ3 在精确解正则性假设最小的前提下，能否为非线性MHD推导出DG方法的先验误差估计？
• RQ4 所提出的离散索博列夫嵌入估计如何提升DG方法在MHD问题中的稳定性和收敛性分析？
• RQ5 所提出的格式对完整的非线性MHD系统（包括耦合的速度与磁场动力学）是否稳定且收敛？

主要发现

• 在光滑解假设下，该方法在能量范数下对速度、磁场和压力实现了最优收敛率。
• 拉格朗日乘子表现出次优收敛阶，但其逼近保持稳定且一致。
• 在精确解正则性假设最小的前提下，所有未知量（包括拉格朗日乘子）的逼近仍为最优。
• 针对间断多项式的新型离散索博列夫嵌入估计在推导先验误差界中起关键作用。
• 本工作首次为应用于非线性不可压缩MHD方程的间断伽辽金方法提供了先验误差估计。
• 分析结果证实了混合DG格式在不同正则性区间下的鲁棒性与收敛特性。