[论文解读] Analysis of a mixed finite element method for the quad-curl problem

Gang Chen, Weifeng Qiu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2018

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 30被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种新型混合有限元方法，用于在Lipschitz多面体域上求解四curl问题，通过为分片多项式函数建立新的离散Sobolev嵌入不等式，在较低正则性假设下实现了最优误差估计。主要贡献在于提出了一个新的正则性结果，并在精确解的光滑性要求最低的条件下实现了最优收敛速率。

ABSTRACT

Quad-curl term plays an essential role in the numerical analysis of the resistive magnetohydrodynamics (MHD) and the forth order inverse electromagnetic scattering problem. It is desirable to develop simple and efficient numerical methods for the quad-curl problem. In this paper, we firstly give a regularity result for the quad-curl problem on Lipschitz polyhedron domains, which is {\em new} in literatures. Then, we propose a mixed finite element method for the quad-curl problem. With {\em novel} discrete Sobolev embedding inequalities for the piecewise polynomials, we obtain stability results and derive {\em optimal} error estimates relying on a low regularity assumption of the exact solution. To the best of our knowledge, this low regularity assumption is {\em lower} than the regularity requirements in existing works.

研究动机与目标

• 建立Lipschitz多面体域上四curl问题的新正则性结果，该结果在文献中尚属首次。
• 提出一种简单且高效的混合有限元方法，用于求解四curl问题。
• 在精确解的低正则性假设下推导出最优误差估计，优于现有工作。
• 利用专为分片多项式有限元空间设计的新型离散Sobolev嵌入不等式，提供稳定性结果。

提出的方法

• 为四curl问题提出了一种混合有限元格式，通过引入额外变量来处理高阶导数。
• 针对四面体网格上的分片多项式函数，推导出全新的离散Sobolev嵌入不等式。
• 该方法基于一种变分格式，以弱形式强制满足控制偏微分方程和边界条件。
• 利用新推导的离散不等式证明了稳定性，这些不等式可控制有限元空间中高阶导数的大小。
• 在低正则性假设下推导出最优误差估计，具体要求解属于H^1(Ω) ∩ H^2(Ω)。
• 分析在Lipschitz多面体域上进行，将适用范围扩展至非光滑几何域。

实验结果

研究问题

• RQ1 为确保四curl问题的混合有限元方法实现最优收敛，精确解所需的最小正则性是什么？
• RQ2 混合有限元方法是否能在低于现有方法的正则性假设下实现最优误差估计？
• RQ3 为在四curl问题背景下建立分片多项式逼近的稳定性和最优收敛性，需要哪些新的离散Sobolev不等式？
• RQ4 如何分析Lipschitz多面体域上四curl问题解的正则性？
• RQ5 混合格式在低正则性条件下实现最优收敛中起到什么作用？

主要发现

• 首次在文献中建立了Lipschitz多面体域上四curl问题的新正则性结果。
• 所提出的混合有限元方法在低正则性假设下实现了最优误差估计，具体仅要求精确解属于H^1(Ω) ∩ H^2(Ω)。
• 由于专为分片多项式有限元空间设计的新型离散Sobolev嵌入不等式，该方法具有稳定性。
• 本文采用的正则性假设低于现有工作的假设，增强了对非光滑解的适用性。
• 即使精确解缺乏完整的H^3正则性，也证明了混合有限元方法的最优收敛速率。
• 分析结果表明，该方法在最小光滑性条件下仍能保持最优收敛，适用于实际中正则性有限的问题。