[论文解读] Analysis of a Sinclair-type domain decomposition solver for atomistic/continuum coupling

Max Hodapp|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2019

Electromagnetic Simulation and Numerical Methods参考文献 34被引用 7

一句话总结

该论文通过结合离散边界元法与灵活边界条件，将原本针对无限域的Sinclair型区域分解求解器推广至有界域的原子/连续耦合问题。证明了一维问题下的无条件稳定性，通过松弛传输条件加速收敛，并在线性和非线性问题上验证了该方法，其效率优于传统交替Schwarz方法。

ABSTRACT

The "flexible boundary condition" method, introduced by Sinclair and coworkers in the 1970s, remains among the most popular methods for simulating isolated two-dimensional crystalline defects, embedded in an effectively infinite atomistic domain. In essence, the method can be characterized as a domain decomposition method which iterates between a local anharmonic and a global harmonic problem, where the latter is solved by means of the lattice Green function of the ideal crystal. This local/global splitting gives rise to tremendously improved convergence rates over related alternating Schwarz methods. In a previous publication (Hodapp et al., 2019, Comput. Methods in Appl. Mech. Eng. 348), we have shown that this method also applies to large-scale three-dimensional problems, possibly involving hundreds of thousands of atoms, using fast summation techniques exploiting the low-rank nature of the asymptotic lattice Green function. Here, we generalize the Sinclair method to bounded domains and develop an implementation using a discrete boundary element method to correct the infinite solution with respect to a prescribed far-field condition, thus preserving the advantage of the original method of not requiring a global spatial discretization. Moreover, we present a detailed convergence analysis and show for a one-dimensional problem that the method is unconditionally stable under physically motivated assumptions. To further improve the convergence behavior, we develop an acceleration technique based on a relaxation of the transmission conditions between the two subproblems. Numerical examples for linear and nonlinear problems are presented to validate the proposed methodology.

研究动机与目标

• 将原本专为无限域设计的Sinclair型区域分解方法推广至原子/连续耦合中的有界计算域。
• 通过采用离散边界元法进行远场校正，避免全局体积离散化，从而保持方法的快速收敛性。
• 建立严格的收敛性分析，证明在一维问题下，在物理上合理的假设下具有无条件稳定性。
• 通过传输条件的松弛技术加速收敛，改进标准交替Schwarz方法。
• 通过数值例子验证该方法在线性和非线性问题上的有效性。

提出的方法

• 通过离散边界元法（DBEM）求解全局调和问题，将无限域解修正为满足预定远场条件，从而将Sinclair方法推广至有界域。
• 采用局部/全局分解：局部问题为完全原子（非谐）问题，全局问题为调和问题，并通过晶格格林函数求解。
• 在局部非谐问题与全局调和问题之间实施固定点迭代，子域间通过传输条件连接。
• 引入传输条件的松弛技术以加速收敛，优于标准交替Schwarz方法。
• 利用晶格格林函数渐近形式的低秩结构，采用快速求和技术，实现三维大规模问题（含数十万原子）的可扩展性。
• 通过LU分解和余子式展开推导并分析系统矩阵的逆，证明其稳定性和关键系数的正定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在保持快速收敛性和稳定性的同时，将Sinclair型区域分解求解器推广至有界域？
• RQ2 在一维问题中，该方法在物理上合理的假设下是否具有无条件稳定性，特别是当系统矩阵为正定矩阵时？
• RQ3 如何在不损害稳定性或精度的前提下加速该方法的收敛？
• RQ4 离散边界元法能否有效施加远场边界条件，而无需全局体积离散化？
• RQ5 松弛传输条件对原子/连续耦合问题中固定点迭代的收敛速率有何影响？

主要发现

• 在一维问题中，在物理上合理的假设下，该方法通过矩阵分析和系统矩阵行列式界证明了无条件稳定性。
• 系统矩阵的逆系数被证明为正数，确保了迭代格式的适定性和稳定性。
• 离散边界元法成功在不进行全局体积离散化的情况下施加远场条件，保持了计算效率。
• 松弛传输条件显著加速了收敛，优于标准交替Schwarz方法。
• 数值例子表明，该方法在线性和非线性问题上均表现出稳健性能，验证了理论收敛性和稳定性结果。
• 通过利用晶格格林函数的低秩结构，该方法在包含多达数十万原子的大规模三维问题中实现了高效可扩展性。