[论文解读] Analysis of A Splitting Scheme for Damped Stochastic Nonlinear Schrödinger Equation with Multiplicative Noise

Jianbo Cui, Jialin Hong|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文分析了带乘性噪声的阻尼随机非线性薛定谔方程的分裂格式，证明了其强收敛阶为1/2、弱收敛阶为1，且该结果与时间无关。分析基于充分阻尼下的指数可积性与先验估计，建立了对非单调非线性项的稳定性与收敛性。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the damped stochastic nonlinear Schrödinger(NLS) equation with multiplicative noise and its splitting-based approximation. When the damped effect is large enough, we prove that the solutions of the damped stochastic NLS equation and the splitting scheme are exponential stable and possess some exponential integrability. These properties lead that the strong order of the scheme is $\frac 12$ and independent of time. Meanwhile, we analyze the regularity of the Kolmogorov equation with respect to the equation. As a consequence, the weak order of the scheme is shown to be twice the strong order and independent of time.

研究动机与目标

• 开发并分析一种用于带乘性噪声的阻尼随机非线性薛定谔方程的时间分裂数值格式。
• 建立该格式的强收敛阶1/2与弱收敛阶1，且该结果与时间无关。
• 在充分阻尼条件下，证明精确解与数值解的指数稳定性和指数可积性。
• 分析与阻尼随机NLS相关的柯尔莫哥洛夫方程的正则性，以推导弱收敛速率。
• 将收敛结果推广至非单调、非利普希茨型非线性项，此类情形在随机PDE文献中研究较少。

提出的方法

• 分裂格式将随机NLS分解为线性（薛定谔）与非线性（阻尼/噪声）子问题，按时间步长顺序求解。
• 通过引用[9, 推论2.4]中的引理，建立精确解与数值解的指数可积性，从而支持强误差估计。
• 在阻尼系数α足够大时，证明精确解与分裂格式的先验估计与指数稳定性。
• 通过分析与阻尼随机NLS相关的柯尔莫哥洛夫方程的正则性，结合解流的指数可积性与强连续性，推导弱收敛阶。
• 利用半群理论与随机分析，包括伊tô公式与随机积分界，控制时间区间上的误差项。
• 通过将误差分解为三部分（W₁, W₂, W₃），每部分均利用指数衰减与矩估计进行有界化，从而证明格式的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带乘性噪声的阻尼随机NLS方程的分裂格式的强收敛阶是多少？
• RQ2 同一格式的弱收敛阶是多少？是否依赖于时间步长？
• RQ3 在何种条件下，阻尼随机NLS的精确解表现出指数稳定性和指数可积性？
• RQ4 柯尔莫哥洛夫方程的正则性如何影响数值格式的弱收敛速率？
• RQ5 对于非单调、非利普希茨型非线性项，收敛速率能否与时间无关地建立？

主要发现

• 证明了分裂格式的强收敛阶为1/2，且该速率与时间步长无关。
• 证明了该格式的弱收敛阶为1，且该结果同样与时间无关。
• 在阻尼系数足够大时，精确解与数值解均具有指数稳定性与指数可积性。
• 与阻尼随机NLS相关的柯尔莫哥洛夫方程具有足够的正则性，支持弱收敛分析。
• 弱收敛的误差估计通过分解为三部分（W₁, W₂, W₃）导出，每部分有界于O(τ²)，总和得到整体O(τ)误差界。
• 在初始数据u₀ ∈ ℍ⁴、阻尼系数α ∈ ℍ⁴、噪声算子Q¹ᐟ²具有有限ℒ₂⁴范数的假设下，该分析成立。