[论文解读] Analysis of a Time Multigrid Algorithm for DG-Discretizations in Time

Martin J. Gander, Martin Neumüller|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文提出并分析了一种用于时间方向间断伽辽金（DG）空间离散化的时域多重网格算法，采用块雅可比平滑器和时间方向的标准限制/延拓算子。推导出渐近最优的平滑参数，并证明了精确的两网格收缩估计，从而实现了对抛物型PDE高效并行时间求解，在大规模系统上表现出优异的强可扩展性和弱可扩展性。

ABSTRACT

We present and analyze for a scalar linear evolution model problem a time multigrid algorithm for DG-discretizations in time. We derive asymptotically optimized parameters for the smoother, and also an asymptotically sharp convergence estimate for the two grid cycle. Our results hold for any A-stable time stepping scheme and represent the core component for space-time multigrid methods for parabolic partial differential equations. Our time multigrid method has excellent strong and weak scaling properties for parallelization in time, which we show with numerical experiments.

研究动机与目标

• 开发并分析一种用于时间离散化演化问题的鲁棒多重网格方法，采用时间方向的DG方法。
• 通过克服传统仅空间粗化的多重网格方法的局限性，实现在时间方向的高效并行化。
• 通过独立分析时间分量，为时空多重网格方法提供理论基础。
• 为两网格循环建立渐近最优的平滑参数和收敛界。
• 在大规模超级计算机上展示该方法的强可扩展性和弱可扩展性。

提出的方法

• 采用基于时间界面连续性弱强制的阶数为 $ p_t $ 的间断伽辽金（DG）时间离散化。
• 对DG时间离散化产生的线性系统应用块雅可比平滑器，并对平滑参数进行渐近最优优化。
• 在时间方向应用标准的限制和延拓算子，实现时间维的完全粗化。
• 通过傅里叶模态分析确定两网格方法的最优平滑参数和收缩因子。
• 通过两网格收敛性分析，建立与时间步长无关的渐近精确收缩估计。
• 通过在Monte Rosa和维也纳科学集群超级计算机上的数值实验验证可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用DG离散化的时域多重网格方法中，块雅可比平滑器的最优平滑参数是什么？
• RQ2 时域多重网格方法能否为DG时间离散化实现网格无关的收敛性？
• RQ3 两网格方法的收敛行为如何依赖于时间离散化阶数 $ p_t $ 和平滑参数？
• RQ4 所提出的时域多重网格算法在大规模并行架构上的强可扩展性和弱可扩展性如何？
• RQ5 该方法能否扩展至抛物型PDE的完整时空多重网格方法，并实现高效的时空求解？

主要发现

• 推导出块雅可比平滑器的渐近最优平滑参数，确保两网格方法达到最佳可能的收敛速率。
• 证明了精确的两网格收缩估计，表明收敛性与时间步长无关，且对任意A-稳定的时间积分格式均成立。
• 该方法表现出优异的强可扩展性：当核心数加倍时，计算时间大致减半，直至受限于局部问题规模。
• 弱可扩展性同样优异：当问题规模和核心数按比例增加时，总求解时间几乎保持不变。
• 对于一个包含131,120,896自由度的大规模问题，当在2048个核心上并行运行时，该方法相比串行前向替代法实现了1000倍的加速。
• 该方法在不同多项式阶数 $ p_t $ 下均保持鲁棒性能，且计算时间随 $ p_t $ 增加而有利地增长。