[论文解读] Analysis of constraints in light-cone version of SU(2) Yang-Mills mechanics

Vladimir P. Gerdt, A. Khvedelidze+1 more|ArXiv.org|Sep 13, 2002

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用 8

一句话总结

该论文分析了具有空间均匀规范势的 SU(2) 规范场力学的光锥形式，利用计算机代数（Maple）和 Dirac-Gröbner 算法计算并分类约束。结果发现存在由八个第一类和四个第二类约束组成的混合系统，将物理自由度减少至四个，并表明由于规范结构和约束层次的不同，光锥模型与瞬时形式在经典上不等价。

ABSTRACT

We study the classical dynamics of mechanical model obtained from the light-cone version of SU(2) Yang-Mills field theory under the supposition of gauge potential dependence only on ``time'' along the light-cone direction. The computer algebra system Maple was used strongly to compute and separate the complete set of constraints. In contrast to the instant form of Yang-Mills mechanics the constraints here represent a mixed form of first and second-class constraints and reduce the number of the physical degrees of freedom up to four canonical one.

研究动机与目标

• 研究具有空间均匀场的 SU(2) 规范场力学在光锥规范下的广义哈密顿动力学。
• 计算并分类光锥形式中由退化哈密顿结构产生的全部约束。
• 将光锥模型与规范场力学的瞬时形式进行比较，重点关注规范不变性与约束分类的差异。
• 通过 Maple 包实现并应用 Dirac-Gröbner 算法，系统地推导并分离第一类与第二类约束。
• 确定物理自由度数量以及由第一类约束生成的规范群的代数结构。

提出的方法

• 在规范势仅依赖于光锥时间 $x^+$ 的假设下，构建光锥规范场力学的拉格朗日量，从而得到一个有限维的力学系统。
• 将广义哈密顿形式应用于退化系统，通过海塞行列式为零的条件推导出初级和次级约束。
• 利用基于 Maple 的 Dirac-Gröbner 算法，计算并分离出全部 12 个代数独立约束，划分为第一类与第二类子集。
• 在约束流形上使用泊松括号矩阵确定秩（4），并进行约束分类：八个第一类，四个第二类。
• 通过计算第一类约束的泊松括号，构建规范代数，使用多元多项式除法和扩展 Gröbner 基技术推导结构常数。
• 通过检查多项式除法中余项为零，并在必要时应用扩展 Gröbner 基算法来验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有空间均匀场的 SU(2) 规范场力学光锥形式中，完整的约束集合是什么？
• RQ2 光锥模型中的第一类与第二类约束与规范场力学瞬时形式中的约束相比有何异同？
• RQ3 光锥 SU(2) 规范场力学模型中的物理自由度数量是多少？
• RQ4 由第一类约束生成的规范代数的结构如何？是否可以算法化地计算？
• RQ5 鉴于约束分类与规范结构存在差异，光锥形式是否与瞬时形式经典等价？

主要发现

• 完整的约束集合由 12 个代数独立关系组成：六个 $\theta^{(1)}_a$，两个 $\theta_k$，六个 $\theta^{(2)}_a$，以及四个独立的 $\theta^{b}_{k\bot}$，其中后者的两个约束为线性相关。
• 约束矩阵的秩为 4，表明存在四个第二类约束和八个第一类约束，从而将物理自由度减少至四个。
• 八个第一类约束被识别为 $\varphi^{(1)}_a$，$\psi_k$ 和 $\varphi^{(2)}_a$，而四个独立的 $\chi^{a}_{k\bot}$ 组合构成第二类集合。
• 由第一类约束生成的规范代数是封闭且可计算的：泊松括号 $\{\phi_r, \phi_s\}$ 生成的结构常数 $c^q_{rs}$ 在第一类约束上封闭。
• 结构常数 $c^q_{rs}$ 通过多元多项式除法算法推导，并经由 Gröbner 基约化验证，除法算法成功得出正确的关系式 (38)–(41)。
• 由于第一类与第二类约束的混合结构以及规范群实现方式的不同，光锥模型与瞬时形式在经典上不等价。