[论文解读] Analysis of energetic models for rate-independent materials

Alexander Mielke|arXiv (Cornell University)|May 1, 2003

Shape Memory Alloy Transformations参考文献 12被引用 24

一句话总结

本文通过基于能量储存和耗散泛函的能量模型，发展了一套针对速率无关材料的抽象存在性理论。通过时间离散化最小化方法建立解的存在性，证明了在强制性和紧致性条件下解的存在性，并将该框架应用于形状记忆合金、粘附脱粘以及具有非凸耗散结构的有限大变形塑性问题。

ABSTRACT

We consider rate-independent models which are defined via two functionals: the time-dependent energy-storage functional $\calI:[0,T] i X o [0,\infty]$ and the dissipation distance $\calD:X i X o[0,\infty]$. A function $z:[0,T] o X$ is called a solution of the {energetic model}, if for all $0\leq s

研究动机与目标

• 建立基于能量公式的速率无关系统解的通用存在性理论。
• 解决具有复杂内部变量的材料中非凸和非光滑耗散带来的挑战。
• 提供一个统一的框架，适用于相变、损伤和塑性等多种材料行为。
• 通过利用巴拿赫空间中的紧致性和强制性，确保在弱正则性假设下解的存在性。
• 将能量模型的适用范围扩展至非可微或非凸设定，使其能够应用于复杂的连续介质力学问题。

提出的方法

• 通过全局稳定性（S）和能量不等式（E）来表述速率无关演化，替代微分包含。
• 对时间进行离散化，并在每一步求解增量最小化问题：最小化 $\mathcal{I}(t_k, z) + \mathcal{D}(z_{k-1}, z)$。
• 利用耗散距离 $\mathcal{D}$ 对解路径的有变差（BV）范数进行控制。
• 通过强制性 $\mathcal{I}(t,z) \geq c_1\|z\|_Y^\alpha - C_1$（其中 $Y \subset X$ 紧嵌入）建立紧致性。
• 将抽象理论应用于三个物理应用：形状记忆合金、粘附脱粘和有限大变形塑性。
• 对于脱粘问题，定义 $\mathcal{D}(z_0,z_1) = c_D \int_\Gamma (z_0 - z_1)^+ \, da$ 以模拟不可逆的粘接失效。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖能量泛函可微性或凸性的情况下，为速率无关系统建立通用的存在性理论？
• RQ2 对于具有非凸、非光滑耗散的系统（如塑性或断裂问题），如何构造解？
• RQ3 在无限维空间中，时间离散化解的紧致性和收敛性需要满足何种条件？
• RQ4 如何将能量公式化方法应用于具有内部变量（如相态、损伤或塑性变形）的材料？
• RQ5 内部变量空间的几何结构（如塑性中的李群）在解的存在性和结构中起何种作用？

主要发现

• 在强制性和紧嵌入假设下，即使能量泛函非凸或不可微，能量模型的解依然存在。
• 时间离散化的增量最小化方案产生了一组状态序列，其总变差由耗散泛函控制。
• 在粘附脱粘问题中，能量泛函 $\mathcal{I}(t,z)$ 在 $L^1(\Gamma)$ 上具有 s-弱连续性，确保了通过定理 3.3 的存在性。
• 在有限大变形塑性中，耗散距离在 $\mathrm{SL}(d)$ 上具有左不变性，导致对数行为并引发强烈的几何非凸性。
• 当约化能量密度 $\Psi^{\mathrm{red}}$ 不是拟凸时，增量问题中的极小化子可能无法达到，此时需要使用松弛化技术。
• 该框架可通过相变指示变量应用于形状记忆合金，也可通过李群中的内部变量应用于弹塑性问题，展示了其广泛适用性。