[论文解读] Analysis of Fully Discrete Mixed Finite Element Methods for Time-dependent Stochastic Stokes Equations with Multiplicative Noise

Xiaobing Feng, Hailong Qiu|arXiv (Cornell University)|May 8, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文提出了一种全离散混合有限元方法，用于具有乘性噪声的时间依赖随机Stokes方程，结合欧拉-马里亚米方法进行时间半离散化和Taylor-Hood单元进行空间半离散化。该方法建立了速度和压力逼近的最优强收敛率，引入了一种类随机inf-sup条件以处理压力在时间平均意义上的低正则性，数值实验验证了预期的收敛率。

ABSTRACT

This paper is concerned with fully discrete mixed finite element approximations of the time-dependent stochastic Stokes equations with multiplicative noise. A prototypical method, which comprises of the Euler-Maruyama scheme for time discretization and the Taylor-Hood mixed element for spatial discretization is studied in detail. Strong convergence with rates is established not only for the velocity approximation but also for the pressure approximation (in a time-averaged fashion). A stochastic inf-sup condition is established and used in a nonstandard way to obtain the error estimate for the pressure approximation in the time-averaged fashion. Numerical results are also provided to validate the theoretical results and to gauge the performance of the proposed fully discrete mixed finite methods.

研究动机与目标

• 开发并分析时间依赖随机Stokes方程具有乘性噪声的全离散混合有限元方法。
• 在低正则性条件下，为速度和压力逼近建立强收敛性及其收敛速率。
• 以非标准方式引入并应用类随机inf-sup条件，以处理压力过程的较差正则性。
• 通过数值实验验证理论结果，包括收敛速率和样本行为。

提出的方法

• 该方法采用欧拉-马里亚米格式对具有乘性噪声的随机Stokes系统进行时间半离散化。
• 空间半离散化采用Taylor-Hood混合有限元对（Q2–P1或Q2–Q1）对速度和压力进行逼近。
• 为减轻低正则性问题，对压力逼近采用时间平均误差范数。
• 推导并以非标准方式应用类随机inf-sup条件以控制压力误差。
• 分析考虑了解的随机性质，包括伊藤积分和维纳过程，且不假设时间可微性。
• 数值实验采用蒙特卡洛采样和人工可压缩性求解器计算解并验证收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有乘性噪声的随机Stokes方程的全离散混合有限元格式中，能否为速度和压力逼近建立最优强收敛速率？
• RQ2 当标准inf-sup条件失效时，如何在误差分析中处理压力过程的低正则性？
• RQ3 时间步长对具有乘性噪声时速度和压力逼近收敛行为的影响是什么？
• RQ4 所提出的方法是否在样本实现中保持了预期的物理行为，如不可压缩性和流场模式？

主要发现

• 速度逼近在时间方向达到半阶收敛率，与理论预测一致。
• 压力逼近在时间平均的$L^2$-范数下以半阶速率收敛，数值结果已验证。
• 数值结果确认，若不进行时间平均，压力逼近的$L^2$-范数误差收敛缓慢，与压力过程的低正则性一致。
• 误差界与$k^{-1/2}$成反比，数值测试已确认此依赖关系，显示随着$k$减小，误差增大。
• 当$k \approx h$时，速度和压力均达到$O(k^{1/2})$的收敛速率，与理论界一致。
• 速度和压力的样本实现表现出与确定性解显著不同的变异性，而其期望值则表现出稳定且符合物理规律的流场模式。