[论文解读] Analysis of Sparse Cutting-planes for Sparse MILPs with Applications to Stochastic MILPs

Santanu S. Dey, Marco Molinaro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2016

Optimization and Mathematical Programming参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文分析了稀疏混合整数线性规划（MILP）中稀疏割平面的强度，证明了仅使用稀疏割时最优解差距的与数据无关的界。结果表明，对于打包、覆盖以及一般非负目标的MILP，该差距仅取决于稀疏结构和割的支持，其界紧致至 $ K \cdot z^I $ 的因子，为求解器和随机MILP中稀疏割的实证成功提供了理论依据。

ABSTRACT

In this paper, we present an analysis of the strength of sparse cutting-planes for mixed integer linear programs (MILP) with sparse formulations. We examine three kinds of problems: packing problems, covering problems, and more general MILPs with the only assumption that the objective function is non-negative. Given a MILP instance of one of these three types, assume that we decide on the support of cutting-planes to be used and the strongest inequalities on these supports are added to the linear programming relaxation. Call the optimal objective function value of the linear programming relaxation together with these cuts as $z^{cut}$. We present bounds on the ratio of $z^{cut}$ and the optimal objective function value of the MILP that depends only on the sparsity structure of the constraint matrix and the support of sparse cuts selected, that is, these bounds are completely data independent. These results also shed light on the strength of scenario-specific cuts for two stage stochastic MILPs.

研究动机与目标

• 为了从理论上理解为何最先进的MILP求解器偏好使用稀疏割平面，尽管关于割选择的理论分析仍有限。
• 分析具有稀疏约束矩阵的MILP中稀疏割的强度，这类问题在实际建模中很常见。
• 推导出仅依赖于稀疏结构和割支持、而不依赖整数包络顶点数的、经稀疏割加强的LP松弛最优值与真实MILP最优值之间最优解差距的界。
• 为现代求解器（如CPLEX）中稀疏割在实证中的成功提供理论基础。

提出的方法

• 提出一种分析稀疏割平面的框架，通过固定割的支持，并在这些支持上添加最强的可行不等式。
• 使用自然稀疏闭包（NSC）和稀疏支持闭包（SSC）的概念，以建模割支持限制的影响。
• 运用几何和多面体分析，界定经割加强的LP松弛最优值（$ z^{\text{cut}} $）与真实MILP最优值（$ z^I $）之间的比值。
• 采用基于分解的论证：若约束矩阵是稀疏的，且割被限制在稀疏支持上，则割的强度取决于变量与约束之间的交互图。
• 通过反例构造证明界是紧致的，包括一族MILP满足 $ z^{\text{SS}} \geq K \cdot z^I - \epsilon $，证明该界在渐近意义下是紧致的。
• 利用观察结果：即使未完全捕获整数包络，仍可通过保持稀疏结构的割实现强界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仅添加固定支持上最强割的条件下，稀疏约束矩阵的MILP中，稀疏割平面有多强？
• RQ2 能否仅基于稀疏结构和割支持，独立于整数包络的顶点数，对稀疏割的性能进行界？
• RQ3 为何稀疏割在实践中表现良好，尤其是在随机MILP和具有松散可分解结构的问题中？
• RQ4 经稀疏割加强的LP松弛最优值与真实MILP最优值之间的最坏情况差距是多少？
• RQ5 能否推导出解释现代求解器（如CPLEX）中稀疏割实证成功性的理论界？

主要发现

• 对于打包和覆盖MILP，比值 $ z^{\text{cut}} / z^I $ 的界仅取决于稀疏结构和割的支持，而不依赖于整数包络的顶点数。
• 在自然稀疏闭包（NSC）设定下，本文构造了一个例子，使得 $ z^{\text{N.S.}} \geq K \cdot z^I $，表明该界紧致至一个常数因子。
• 对于稀疏支持闭包（SSC），本文证明了 $ z^{\text{SS}} \geq K \cdot z^I - \epsilon $，表明差距可随块数 $ K $ 线性增长，且该界在渐近意义下是紧致的。
• 结果为随机MILP中稀疏割的实证成功提供了理论解释，其中场景相关割天然具有稀疏性。
• 分析确认，在某些结构化MILP中，稀疏割可几乎与密集割一样强，尤其当约束矩阵稀疏且割保持稀疏性时。
• 这些界完全与数据无关，仅依赖于约束矩阵的稀疏模式和所选的割支持。