[论文解读] Analysis of the Deterministic Polynomial Time Solvability of the 0-1-Knapsack Problem

Jerrald Meek|ArXiv.org|May 5, 2008

Optimization and Packing Problems参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文主张0-1-背包问题无法在确定性多项式时间内求解，断言不存在高效生成代表性多项式搜索划分的方法——这是P = NP的必要条件。其主要贡献在于形式化证明了此类划分无法被高效找到，从而表明P是NP的真子集。

ABSTRACT

Previously the author has demonstrated that a representative polynomial search partition is required to solve a NP-complete problem in deterministic polynomial time. It has also been demonstrated that finding such a partition can only be done in deterministic polynomial time if the form of the problem provides a simple method for producing the partition. It is the purpose of this article to demonstrate that no deterministic polynomial time method exists to produce a representative polynomial search partition for the Knapsack problem.

研究动机与目标

• 确立不存在确定性多项式时间算法可求解0-1-背包问题。
• 证明在多项式时间内找到NP完全问题的代表性多项式搜索划分是不可能的。
• 通过分析搜索空间划分的结构性限制，强化P是NP的真子集的主张。
• 排除穷举搜索和基于形式的优化作为实现多项式时间解法的可行路径。
• 通过证明在背包问题中高效搜索划分的不可能性，支持P ≠ NP的广泛猜想。

提出的方法

• 使用物品所有可能子集的集合论表示，分析0-1-背包问题的结构。
• 将代表性多项式搜索划分定义为可在多项式时间内检查以求解问题的输入集合子集。
• 利用识别该划分（A(S)）的算法与识别其补集（¬A(S)）的算法之间的逻辑等价性，表明若一种存在，则另一种也存在。
• 应用P = NP划分定理，论证在多项式时间内求解NP完全问题需要能高效找到此类划分。
• 采用反证法与逻辑等价性，证明在背包问题中不存在此类高效划分方法。
• 考虑并否定了概率方法与基于SAT的方法作为实现确定性多项式时间解法的可行路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在确定性多项式时间内生成0-1-背包问题的代表性多项式搜索划分？
• RQ2 背包问题是否存在某种结构性质，使得可直接高效识别此类划分？
• RQ3 无法找到代表性多项式搜索划分是否意味着P ≠ NP？
• RQ4 概率方法或基于SAT的方法能否规避对这种划分的需求，从而实现多项式时间解法？
• RQ5 在搜索空间划分复杂度方面，背包问题是否可代表所有NP完全问题？

主要发现

• 不存在确定性多项式时间算法可生成0-1-背包问题的代表性多项式搜索划分。
• 找到划分与找到其补集之间的逻辑等价性表明，若一种不可能，则另一种也不可能。
• 即使排除包含特定元素或组合的子集，仍导致指数级大小的搜索空间，从而无法实现多项式时间缩减。
• 概率方法无法在多项式时间内保证正确性，因此不满足P = NP的要求。
• 虽然SAT的确定性多项式时间解是必要的，但若无法通过归约转移，则仍不充分，而该分析已排除此可能性。
• 本文基于在所需约束下背包问题的不可解性，得出结论：P是NP的真子集。