[论文解读] Analysis of the self-similar spreading of power law fluids

Marco A. Fontelos, Betelu, S. I.+2 more|ArXiv.org|Jun 27, 2003

Fluid Dynamics and Thin Films参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文分析了在毛细力作用下，幂律流体薄膜自相似扩展的解，推导出在一维和二维几何中源型解的存在性与唯一性条件。证明了对于剪切变稀流体（λ > 1），存在有限接触角和零接触角解，且零接触角解是唯一的；而对于牛顿流体或剪切增稠流体（λ ≤ 1），此类解均不存在。

ABSTRACT

We consider the equation that models the spreading of thin liquid films of power-law rheology. In particular, we analyze the existence and uniqueness of source-type self-similar solutions in planar and circular symmetries. We find that for shear-thinning fluids there exist a family of such solutions representing both finite and zero contact angle drops and that the solutions with zero contact angle are unique. We also prove the existence of traveling waves in one space dimension and classify them.

研究动机与目标

• 建立平面和径向对称几何中薄幂律流体薄膜自相似解的存在性与唯一性。
• 确定具有紧支集的源型解存在的条件，特别关注接触角行为。
• 对行波解进行分类并分析其界面动力学，尤其针对剪切变稀流体。
• 通过证明仅当 λ > 1 时存在有限速度扩展前驱，从而解决牛顿流体情况（λ = 1）中的物理不一致性。
• 为文献中先前提出的渐近和数值结果提供严格的数学基础。

提出的方法

• 使用润滑近似推导薄膜扩展的控制PDE，得到四阶非线性PDE：$ u_t + (u^{ u+2} |u_{xxx}|^{ u-1} u_{xxx})_x = 0 $，其中 $ u = \nu + 1 $。
• 应用自相似标度：$ u(x,t) = t^{-\beta} U(x t^{-\beta}) $，将PDE约化为关于 $ U(\eta) $ 的ODE，其中在1D中 $ \beta = 1/(5\lambda + 2) $，在径向对称中 $ \beta = 1/(7\lambda + 3) $。
• 通过变量替换将ODE转化为一阶系统，实现对奇异点附近轨迹的相空间分析。
• 利用不变流形理论和渐近分析，分类原点和界面附近的解行为，识别出具有零接触角或有限接触角的解。
• 应用打靶法和连续性论证，证明具有紧支集和指定界面条件的解的存在性。
• 分析行波解以对移动前驱附近的局部行为进行分类，确认存在两种不同的界面类型：有限接触角和零接触角。

实验结果

研究问题

• RQ1 幂律流体在平面和径向对称几何中是否存在自相似源型解？在何种条件下存在？
• RQ2 界面处零接触角与有限接触角解的存在性与唯一性由什么决定？
• RQ3 为何剪切变稀流体（λ > 1）存在有限速度扩展前驱，而牛顿流体（λ = 1）不存在？
• RQ4 移动前驱在界面附近的局部行为如何与ODE系统的相空间结构相关联？
• RQ5 行波解能否对自相似状态下移动前驱的所有可能物理行为进行分类？

主要发现

• 对于剪切变稀流体（λ > 1），在一维平面对称中存在一个单参数族具有紧支集的自相似解。
• 零接触角解是唯一的，而有限接触角解构成一个单参数族。
• 当 λ ≤ 1 时，不存在自相似源型解，证实牛顿流体或剪切增稠流体中有限速度扩展在物理上不可能。
• 在径向对称中，通过ODE $ U^{\lambda+2} \left( (U'' + U'/\eta)' \right)^\lambda = \eta U $ 建立了自相似解的存在性，条件类似。
• 相空间分析表明，仅有两种界面行为在物理上相关：有限接触角和零接触角，后者对应唯一轨迹。
• 行波解证实，界面附近唯一物理解释的局部行为是有限接触角或零接触角，排除了具有二次增长或非物理解衰减的其他虚假解。