[论文解读] Analysis of the Shifted Boundary Method for the Poisson Problem in General Domains

Nabil M. Atallah, Claudio Canuto+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文针对一般二维和三维域中的泊松方程与狄利克雷边界条件，提供了对位移边界法（SBM）的严格数学分析，涵盖光滑与非光滑边界。该方法在靠近真实边界但不与之重合的近似边界上施加边界条件，并通过修正值来维持最优收敛速率，实现了能量范数下的最优 $ h^2 $ 收敛率，以及在角点奇异性存在情况下的 $ L^2 $-范数增强收敛率。

ABSTRACT

The shifted boundary method (SBM) is an approximate domain method for boundary value problems, in the broader class of unfitted/embedded/immersed methods. It has proven to be quite efficient in handling problems with complex geometries, ranging from Poisson to Darcy, from Navier-Stokes to elasticity and beyond. The key feature of the SBM is a {\it shift} in the location where Dirichlet boundary conditions are applied - from the true to a surrogate boundary - and an appropriate modification (again, a {\it shift}) of the value of the boundary conditions, in order to reduce the consistency error. In this paper we provide a sound analysis of the method in smooth and non-smooth domains, highlighting the influence of geometry and distance between exact and surrogate boundaries upon the convergence rate. Without loss of generality, we consider the Poisson problem with Dirichlet boundary conditions as a model and we first detail a procedure to obtain the crucial shifting between the surrogate and the true boundaries. Next, we give a sufficient condition for the well-posedness and stability of the discrete problem. The behavior of the consistency error arising from shifting the boundary conditions is thoroughly analyzed, for smooth boundaries and for boundaries with corners and edges. The convergence rate is proven to be optimal in the energy norm, and is further enhanced in the $L^2$-norm.

研究动机与目标

• 为一般具有复杂几何形状的域中的位移边界法（SBM）建立坚实的数学基础。
• 分析泊松问题在狄利克雷条件下的 SBM 的稳定性、一致性和收敛性。
• 研究几何奇点（如角点和棱边）对 SBM 收敛速率的影响。
• 推导离散 SBM 格式适定性和稳定性的充分条件。
• 量化真实边界与近似边界之间距离对一致性误差和收敛行为的影响。

提出的方法

• SBM 在一个靠近真实物理边界但不与之重合的近似边界上施加狄利克雷边界条件。
• 通过从真实边界处精确解的截断泰勒展开导出的修正值来调整边界条件，以减小一致性误差。
• 采用类似尼茨赫（Nitsche）的弱强加策略来实现修正后的边界条件，确保稳定性和一致性。
• 近似域由形状正则的非匹配三角剖分构造，其范围可超出物理域，近似边界定义为网格与物理域的交集。
• 施加渐近条件，要求真实边界与近似边界之间的距离以 $ h^{1+ heta} $ 的速率衰减（$ \theta > 0 $），以确保稳定性和收敛性。
• 采用对偶论证方法，从能量范数估计推导出 $ L^2 $-范数的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 几何奇点（如角点和棱边）对 SBM 的一致性误差和收敛速率有何影响？
• RQ2 真实边界与近似边界之间的距离如何影响 SBM 离散格式的稳定性和收敛性？
• RQ3 在何种条件下，离散 SBM 格式是适定且数值稳定的？
• RQ4 在非光滑域中，是否可在能量范数下实现最优收敛速率？在此背景下，泰勒展开余项起何作用？
• RQ5 在存在奇异性的情况下，$ L^2 $-范数的实际收敛速率是多少？其与理论预测相比如何？

主要发现

• 对于光滑域，SBM 在能量范数下实现了最优的 $ h^2 $ 收敛速率，即使边界发生偏移亦成立。
• 在具有角点的非光滑域中，能量范数下的收敛速率由精确解的正则性决定，当 $ u \in H^{1+r} $ 且 $ r < 2/3 $ 时，能量范数收敛速率为 $ h^{2/3} $。
• $ L^2 $-范数的收敛速率得到增强，趋近于 $ h^{4/3} $，高于能量范数的收敛速率，与理论预测和数值观察一致。
• 能量范数下次优性的主要来源是真实边界与近似边界法向量之间的不匹配，由依赖于法向量夹角的项 $ E_1(\psi,w) $ 表征。
• 数值实验表明，能量范数下的实际收敛速率与理论预测一致，对于 $ \omega = 3\pi/2 $ 的内角点，观测到的收敛速率为 $ h^{2/3} $。
• $ L^2 $-范数的收敛速率观测值约为 $ h^{4/3} $，略高于预测的 $ 7/6 $，表明在启发式假设下可能存在更优的收敛性能。