[论文解读] Analysis on Wiener Space and Applications

Ali Süleyman Üstünel|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2010

advanced mathematical theories参考文献 47被引用 32

一句话总结

本文使用马利亚温微积分系统地研究了维纳空间上的分析，建立了诸如格罗斯-索博列夫导数和欧尔诺斯坦-尤伦鲍克算子等基础工具，并将其应用于证明对数索博列夫不等式、梅耶不等式以及容量理论结果。一个关键贡献是将克拉克公式推广至分布空间，从而实现了对密度和非线性滤波方程解的正则性结果。

ABSTRACT

The aim of this book is to give a rigorous introduction for the graduate students to Analysis on Wiener space, a subject which has grown up very quickly these recent years under the new impulse of the Stochastic Calculus of Variations of Paul Malliavin.

研究动机与目标

• 为使用马利亚温微积分框架在维纳空间上进行分析提供严谨的、适合研究生水平的导引。
• 将经典结果如对数索博列夫不等式和梅耶不等式推广至无穷维情形。
• 开发用于研究维纳泛函正则性的工具，特别是将克拉克公式推广至分布空间。
• 将这些工具应用于随机滤波、测度运输和紧致李群上路径空间的问题。
• 建立维纳空间上概率凸性、对数凹性与泛函不等式之间的联系。

提出的方法

• 以格罗斯-索博列夫导数和欧尔诺斯坦-尤伦鲍克算子作为维纳空间分析的核心工具。
• 利用欧尔诺斯坦-尤伦鲍克半群的超收缩性来证明 L. 格罗斯的对数索博列夫不等式。
• 将克拉克公式推广至分布空间，从而能够研究非退化维纳泛函及其密度。
• 基于欧尔诺斯坦-尤伦鲍克过程的容量理论，强化 0-1 法则并证明规范泛函准处处有限性。
• 引入局部索博列夫空间，并通过拼接构造全局泛函，特别适用于非先验可积的对象。
• 应用椭圆算子的二次量化来定义分布空间，包括平移算子等例子。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地发展马利亚温微积分框架以包含在维纳空间上的分布导数和散度？
• RQ2 在何种条件下，非退化维纳泛函的密度是光滑且快速递减的？
• RQ3 如何利用容量理论强化欧尔诺斯坦-尤伦鲍克半群的 0-1 法则和正性改善性质？
• RQ4 在具有奇异二次成本的无穷维维纳空间中，如何表述并求解蒙日-坎托罗维奇测度运输问题？
• RQ5 在紧致李群上的路径空间上，索博列夫分析的结构是怎样的，它与平坦维纳空间情形有何关系？

主要发现

• 通过欧尔诺斯坦-尤伦鲍克算子定义的分布空间中，导数与散度算子可连续延拓。
• 非退化维纳泛函的概率密度不仅属于 $ C^ u $，而且通过克拉克公式的分布延拓可证明其快速递减。
• $ H $-不变集或其补集的 $ C_{r,1} $-容量为零，从而在容量理论背景下强化了 0-1 法则。
• 若函数为温和分布，则 $ m I m R^n $-值非退化维纳泛函与 $ m I m R^n $ 上光滑函数的复合可延拓为温和分布。
• 在非线性滤波中，扎卡伊方程的解被证明是光滑的，并在温和分布空间中建立了伊藤公式的一个推广。
• 对于紧致李群 $ G $ 上的路径与环路空间，在 $ \theta_p^{-1}L\theta_p^{-1}\tilde{\rho}(\rho) $ 满足适当的可积性与范数条件时，有 $ E_1[F(\rho(p)p)|J_\rho|] = E_1[F] $ 成立，且在额外的 $ L^{1+b} $ 可积性条件下，有 $ E_\nu[J_\rho] = 1 $。