[论文解读] Analytic and asymptotic properties of multivariate generalized Linnik's probability densities

Sungbin Lim, Lee-Peng Teo|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2009

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 47被引用 3

一句话总结

本文研究了多变量广义 Linnik 概率密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的解析与渐近性质，其特征函数为 $ \varphi_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{t}) = (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $。文章推导了当 $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ 和 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ 时 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的积分表示与渐近展开式，并建立了在 $ \alpha $ 属于与 Liouville 数相关的 $ (0,2) $ 的一个处处稠密子集时，该密度可由整函数表示的条件。

ABSTRACT

This paper studies the properties of the probability density function $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ of the $n$-variate generalized Linnik distribution whose characteristic function $φ_{α,ν,n}(\boldsymbol{t})$ is given by φ_{α,ν,n}(\boldsymbol{t})=\frac{1} {(1+\Vert\boldsymbol{t}\Vert^α)^ν}, α\in (0,2], ν>0, \boldsymbol{t}\in \mathbb{R}^n, where $\Vert\boldsymbol{t}\Vert$ is the Euclidean norm of $\boldsymbol{t}\in\mathbb{R}^n$. Integral representations of $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ are obtained and used to derive the asymptotic expansions of $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ when $\Vert\mathbf{x}\Vert o 0$ and $\Vert\mathbf{x}\Vert o \infty$ respectively. It is shown that under certain conditions which are arithmetic in nature, $p_{α,ν, n}(\mathbf{x})$ can be represented in terms of entire functions.

研究动机与目标

• 研究具有特征函数 $ (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $ 的多变量广义 Linnik 概率密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的解析与渐近行为。
• 推导 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的积分表示，以用于渐近分析。
• 确定 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 在 $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ 和 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ 时的渐近行为。
• 识别在何种算术条件下 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 可表示为整函数，尤其关注丢番图逼近与 Liouville 数的关系。
• 建立密度的级数表示收敛性与 $ \alpha $ 的算术性质之间的联系，特别是在 $ \alpha\nu $ 为有理数与 $ (2f+1) $-进展开之和时。

提出的方法

• 利用逆傅里叶变换技巧与贝塞尔函数恒等式，推导 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的积分表示。
• 对积分表示应用渐近分析，以推导 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 在 $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ 和 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ 时的行为。
• 利用对偶分布关系：当 $ \nu > n/\alpha $ 时，$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x})/p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{0}) $ 是广义柯西分布的特征函数。
• 引入集合 $ \Omega $、$ \Lambda $ 和 $ E \subset (0,2) $，以刻画使密度的级数表示发散的 $ \alpha $。
• 基于 $ \alpha\nu $ 的 $ (2f+1) $-进展开构造序列 $ l_k $、$ j_k $，以证明系数 $ A_{1,l_k} $、$ A_{2,j_k} $ 无界增长。
• 使用斯特林公式与正弦函数的三角不等式估计级数项的增长，证明当 $ z \neq 0 $ 时级数发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ 时，多变量广义 Linnik 密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的渐近行为如何？
• RQ2 当 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ 时，$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的渐近行为是什么？其行为如何依赖于 $ \alpha $、$ \nu $ 和 $ n $？
• RQ3 在何种算术条件下，$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 可表示为整函数？
• RQ4 是否对所有 $ \mathbf{x} $，$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的级数表示都收敛？是否存在某些 $ \alpha $ 使得这些级数发散？
• RQ5 Liouville 型数与 $ (2f+1) $-进展开在决定密度的解析结构中起什么作用？

主要发现

• 密度 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 具有由其特征函数 $ (1 + \|\mathbf{t}\|^\alpha)^{-\nu} $ 的逆傅里叶变换导出的积分表示。
• 当 $ \|\mathbf{x}\| \to 0 $ 时，密度的行为类似于 $ \|\mathbf{x}\| $ 的幂函数，主导项依赖于 $ \alpha $、$ \nu $ 和 $ n $。
• 当 $ \|\mathbf{x}\| \to \infty $ 时，密度以 $ \|\mathbf{x}\|^{-\alpha\nu - n} $ 的速率衰减，表明其具有重尾行为。
• 对于 $ \alpha \in E $，其中 $ E \subset (0,2) $ 是通过 $ (2f+1) $-进展开与有理逼近定义的处处稠密子集，$ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 的级数表示对所有 $ \mathbf{x} \neq \mathbf{0} $ 均发散。
• 级数展开中的系数 $ A_{1,l_k} $ 和 $ A_{2,j_k} $ 随 $ k \to \infty $ 无界增长，表明当 $ \alpha \in E $ 时，对所有 $ z \neq 0 $ 级数发散。
• 本文证明，尽管 $ E $ 在 $ (0,2) $ 中处处稠密，但 $ p_{\alpha,\nu,n}(\mathbf{x}) $ 无法表示为整函数，原因在于级数系数的发散。