[论文解读] Analytic and Numerical Bootstrap for One-Matrix Model and "Unsolvable" Two-Matrix Model

Vladimir Kazakov, Zechuan Zheng|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2021

Matrix Theory and Algorithms被引用 11

一句话总结

该论文提出了一种松弛-bootstrap方法，用于在大N极限下求解多矩阵模型，结合环方程与矩相关矩阵的正定性约束。通过严格约束矩的取值，利用凸优化方法，该方法在分析上无法求解的两矩阵模型（含tr[A,B]²相互作用及四次势能）中实现了高达6位有效数字的数值精度，即使在自发对称性破缺相中亦成立。

ABSTRACT

We propose the relaxation bootstrap method for the numerical solution of multi-matrix models in the large $N$ limit, developing and improving the recent proposal of H.Lin. It gives rigorous inequalities on the single trace moments of the matrices up to a given "cutoff" order (length) of the moments. The method combines usual loop equations on the moments and the positivity constraint on the correlation matrix of the moments. We have a rigorous proof of applicability of this method in the case of the one-matrix model where the condition of positivity of the saddle point solution appears to be equivalent to the presence of supports of the eigenvalue distribution only on the real axis and only with positive weight. We demonstrate the numerical efficiency of our method by solving the analytically "unsolvable" two-matrix model with $\mathrm{tr}[A,B]^2$ interaction and quartic potentials, even for solutions with spontaneously broken discrete symmetry. The region of values for computed moments allowed by inequalities quickly shrinks with the increase of the cutoff, allowing the precision of about 6 digits for generic values of couplings in the case of $\mathbb{Z}_2$ symmetric solutions. Our numerical data are checked against the known analytic results for particular values of parameters.

研究动机与目标

• 开发一种在大N极限下求解多矩阵模型的数值鲁棒方法，特别是针对以往被认为解析上不可解的模型。
• 通过在矩相关矩阵上引入正定性约束，将bootstrap方法从单矩阵模型推广至多矩阵模型。
• 在具有tr[A,B]²相互作用及四次势能的两矩阵模型上，包括对称性破缺相，展示该方法的有效性。
• 建立一个严格框架，使得鞍点解的正定性等价于实轴上具有正权重的本征值分布。
• 通过特定参数选择下的已知解析结果验证该方法的准确性。

提出的方法

• 该方法将单迹矩的环方程与矩相关矩阵的正定性约束相结合，形成一个凸优化问题。
• 引入一个松弛矩阵以强制实现正定性条件，将问题转化为半定规划（SDP）。
• 通过截断矩长度的上限来截断无限系统，以实现数值可行性。
• 松弛矩阵的构造确保在约束条件下，矩的相关矩阵保持半正定。
• 使用SDPA求解器实现该方法，通过仔细的归一化和精度控制以确保数值稳定性。
• 采用优化问题的对偶形式来验证解的可行性与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为解析解未知的多矩阵模型系统性地开发一种数值bootstrap方法？
• RQ2 如何利用矩相关矩阵的正定性来约束大N极限下可能解的空间？
• RQ3 松弛-bootstrap方法在处理具有自发破缺离散对称性的模型时，其适用范围有多大？
• RQ4 对于含tr[A,B]²相互作用的两矩阵模型，该方法在一般耦合常数下的收敛速度与精度如何？
• RQ5 该方法能否严格应用于单矩阵模型？其正定性条件是否对应于物理上的本征值分布？

主要发现

• 对于含tr[A,B]²相互作用及四次势能的两矩阵模型，该松弛-bootstrap方法在一般耦合常数下实现了约6位有效数字的数值精度。
• 该方法成功计算了具有自发Z₂对称性破缺相的矩，证明了其在对称解之外的鲁棒性。
• 对于单矩阵模型，严格证明了鞍点解的正定性等价于本征值分布仅支持在实轴上且权重为正。
• 随着截断上限的增加，允许的矩值区域迅速缩小，表明具有强收敛性与约束收紧。
• 两矩阵模型的数值结果在特定参数值下与已知解析解对比，验证了其准确性。
• 基矩的数量随模型复杂度增加而增长，表明基矩数量与可解性之间存在关联，有助于预测模型行为。