[论文解读] Analytic and Numerical Study of Navier-Stokes Loop Equation in Turbulence

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2019

Experimental and Theoretical Physics Studies被引用 7

一句话总结

该论文为湍流中的纳维-斯托克斯环路方程构建了分析与数值框架，推导出关于任意非平面环路所围成的最小曲面上涡量分布Ω(r)的二次积分方程。研究表明，主导阶解对应于最小曲面上的尺度不变涡量场，而粘性效应引入了主导修正项，该修正项混合了⟨Γᵖ⟩与⟨Γᵖ⁻¹⟩的矩，破坏时间反演对称性，并类似于模拟中观察到的双分形行为。

ABSTRACT

We developed analytic approach to the non-planar loop equation, which we derived in previous papers \\cite{M19a},\\cite{M19b},\\cite{M19c}. We found quadratic integral equation for the vorticity distribution $\\Omega(r)$ we introduced on a minimal surface. There are no corrections to the minimal surface though: it is still defined by mean external curvature equal to zero, for arbitrary non-planar loop. We also analyzed the loop equations with viscosity term in Navier-Stokes equations. This term creates boundary condition for $\\Omega(r\\in C)$. The leading viscosity correction term mixes the moments $\\left< \\Gamma^p \ ight>$ with $\\left< \\Gamma^{p-1} \ ight>$ resembling the bi-fractal behavior observed in \\cite{S19} and explicitly breaking the time reversal symmetry. We also develop numerical approach to the loop equation with arbitrary curved loop and present \\Mathematica notebook building triangulated minimal surface and then numerically solving these equations. As a result we obtain predictions for future numerical experiments which will compute vorticity distribution along the loop.

研究动机与目标

• 推导并求解纳维-斯托克斯方程在湍流环路PDF尾部背景下的非平面环路方程。
• 建立环路所围成的最小曲面与保持环路守恒的涡量分布Ω(r)之间的联系。
• 分析环路方程的主导阶粘性修正及其对环路PDF矩的影响。
• 开发一种基于Mathematica®中三角化最小曲面的数值方法，以计算Ω(r)并预测任意环路的涡量分布。
• 为湍流中的面积律提供理论基础，将其视为环路空间中的瞬子解，类似于场论中的WKB近似。

提出的方法

• 从开尔文-赫姆霍兹定律和毕奥-萨伐尔定律推导环路方程，将环路的环路PDF表示为环路与涡量场的泛函。
• 在最小曲面上引入与法向量n(r)对齐的涡量场Ω(r)，其满足由欧拉环路方程导出的积分方程(94)。
• 使用WKB近似将PDF视为exp(−S(A_C, Γ))，其中S代表作用量，求解三角化最小曲面上的Ω(r)。
• 在Mathematica®中对三角化曲面上的环路方程进行离散化，构建最小曲面并通过最小化求解Ω(r)。
• 通过将PDF对ν线性展开分析粘性修正，导出Ω₁(r)的线性积分方程(109)，并揭示⟨Γᵖ⟩与⟨Γᵖ⁻¹⟩矩的混合。
• 通过归一化Ω(r)使几何面积A_C在坐标缩放下保持不变，确保解的尺度不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 最小曲面上的涡量分布Ω(r)如何决定充分发展湍流中环路PDF的尾部？
• RQ2 满足任意非平面环路环路方程的涡量场Ω(r)的解析形式是什么？
• RQ3 粘性项的引入如何改变环路方程并影响环路的统计矩？
• RQ4 最小曲面解在非平面环路中作为PDF尾部的渐近近似，其有效性在多大程度上成立？
• RQ5 能否通过三角化最小曲面在数值上实现纳维-斯托克斯方程的环路空间瞬子解？

主要发现

• 最小曲面上的涡量分布Ω(r)满足二次积分方程(94)，其解在曲面均匀缩放下具有尺度不变性。
• 最小曲面由平均曲率为零定义，涡量场与曲面法向成正比，Ω(r)在曲面上从负到正变化，中心处达到峰值。
• 粘性修正引入一个线性项，混合了⟨Γᵖ⟩与⟨Γᵖ⁻¹⟩的矩，明确破坏时间反演对称性，并类似于数值实验中观察到的双分形标度行为。
• PDF的主导阶修正被推导为P(C,Γ) ≈ exp(−S) × (1 + (ν/r₀)V(A_C,Γ)∫dσ(r)Ω₁(r))，其中V与Ω₁由线性积分方程(109)确定。
• 该理论预测了任意环路C的可计算平均涡量场，其与Ω(r)n(r)成正比，可通过Mathematica®中的数值三角化获得显式解。
• 整个框架可离散化并在三角化最小曲面上数值求解，从而为未来关于环路上涡量分布的数值实验提供预测。