[论文解读] Analytic Compactifications of C^2 part I - curvettes at infinity

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过分析无穷远处的曲线芽（curvettes）——即与无穷远曲线横截相交的曲线的局部芽——研究ℂ²的正规解析紧化。该文给出了哪些无穷远处的除子型离散赋值对应于紧化结构的完整刻画，证明了此类紧化存在的充要条件是该赋值在Favre与Jonsson（2004）的意义下呈正偏斜。该工作推广并改进了关于奇点及无穷远处曲线构型的早期结果，并为多项式自同构的经典定理以及ℙ²作为光滑紧化的唯一性提供了新证明。

ABSTRACT

We study normal analytic compactifications of C^2 and describe their singularities and configuration of curves at infinity, in particular improving and generalizing results of (Brenton, Math. Ann. 206:303--310, 1973). As a by product we give new proofs of Jung's theorem on polynomial automorphisms of C^2 and Remmert and Van de Ven's result that CP^2 is the only smooth analytic compactification of C^2 for which the curve at infinity is irreducible. We also give a complete answer to the question of existence of compactifications of C^2 with prescribed divisorial valuations at infinity. In particular, we show that a valuation on C(x,y) centered at infinity determines a compactification of C^2 iff it is "positively skewed" in the sense of (Favre and Jonsson, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. 40(2):309--349, 2007).

研究动机与目标

• 研究ℂ²的正规解析紧化，描述其奇点及无穷远处曲线的构型。
• 推广并改进Breteille（1973）关于无穷远处曲线结构及其奇点的结果。
• 为Jung关于ℂ²上多项式自同构的定理以及Remmert–Van de Ven关于ℙ²是唯一具有不可约无穷远曲线的光滑紧化的结果提供新证明。
• 完整回答具有指定除子型赋值的无穷远处紧化存在的问题。

提出的方法

• 通过到ℙ²的双全纯映射下的参数化，分析无穷远处的曲线芽——即与无穷远曲线横截相交的曲线的局部芽。
• 利用奇点解析的对偶图研究无穷远处曲线的构型及其奇点。
• 应用Grauert判别准则和Cramer法则，将交形式与由赋值数据导出的矩阵的行列式联系起来。
• 使用除子型赋值的关键多项式与一般关键形式，计算偏斜度并判断赋值是否定义紧化。
• 利用一般下降Puiseux级数的正式Puiseux对，计算一般关键形式的赋值，从而得到偏斜度。
• 应用中心在无穷远点的离散赋值理论，特别是Favre与Jonsson（2004）提出的偏斜度概念，以刻画有效的紧化结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些中心在无穷远点的ℂ(x,y)上的除子型离散赋值决定了ℂ²的正规解析紧化？
• RQ2 在ℂ²的正规解析紧化中，无穷远处曲线的可能构型与奇点是什么？
• RQ3 紧化的奇点与无穷远处曲线的奇点如何与一般曲线芽在无穷远处的奇点解析相关？
• RQ4 在何种条件下，存在具有指定无穷远处曲线构型的紧化？
• RQ5 赋值的偏斜度与以该赋值为沿无穷远曲线的零点阶数的紧化存在的关系是什么？

主要发现

• 对于给定的中心在无穷远点的除子型离散赋值ν，ℂ²的正规解析紧化存在的充要条件是ν呈正偏斜，即α(ν) > 0，其中α(ν)是ν的偏斜度。
• ℂ²的紧化X̄的奇点数至多为2k，其中k为无穷远曲线的不可约分支数；对于极小紧化，该上界收紧为k+1。
• 极小紧化至多有一个奇点P，使得所有无穷远处的曲线仅在P处相交，且所有分支去掉P后同构于ℂ。
• 无穷远曲线的每个不可约分支至多有一个奇点；若其具有非相交奇点，则整个曲线构型可压缩，且该紧化非极小。
• 中心在无穷远点的除子型赋值ν的偏斜度由α(ν) = -ν(gₙu(x,y,ξ))/p²给出，其中gₙu为一般关键形式，p为y的次数。
• 偏斜度α(ν)可由一般下降Puiseux级数的正式Puiseux对(qᵢ, pᵢ)显式计算，得到涉及pᵢ乘积与qᵢ/pᵢ有理组合的公式。