[论文解读] Analytic continuation of the Mellin moments of deep inelastic structure functions

A. V. Kotikov, V.N. Velizhanin|ArXiv.org|Jan 31, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 2被引用 45

一句话总结

本文在量子色动力学（QCD）的下一下一阶（NNLO）精度下，实现了深虚散射结构函数的Mellin矩的解析延拓，将先前的结果扩展至处理更复杂的嵌套和。通过推导包含正负指数的广义调和和的闭式表达式，作者实现了对任意复数 $ n $ 的结构函数矩的精确计算，包括关键值如 $ n=1 $，这对于求和规则和实验数据的全局拟合至关重要。

ABSTRACT

We derive the analytic continuation of the Mellin moments of deep inelastic structure functions at the next-to-next-to-leading order accuracy.

研究动机与目标

• 将嵌套调和和的解析延拓从简单的 $ S_{-a,b,c}(n) $ 情况扩展至QCD NNLO计算中所需的更复杂结构。
• 提供适用于任意复数 $ n $（包括非整数和负值）的异常维数和系数函数的 $ n $-空间表示。
• 实现对 $ n=1 $ 处求和规则的精确计算，这对于检验部分子分布函数和DIS数据的全局拟合至关重要。
• 通过 $ x $-空间中正交多项式展开，支持从其矩重构结构函数。
• 通过异常维数的解析延拓，促进 $ \mathcal{N}=4 $ SYM 理论中DGLAP与BFKL动力学的比较。

提出的方法

• 使用无穷级数展开和zeta函数正则化，推导嵌套和 $ S_{\pm a,\pm b,\pm c,...}(n) $ 的解析延拓。
• 利用Hurwitz zeta函数和广义多伽马函数，将延拓表示为 $ \Psi_{a,b,...}(n+1) $ 的形式，这些函数对复数 $ n $ 是良定义的。
• 应用分解式 $ \overline{S}^{+}_{\pm a,\pm b,...}(n) = Z_{\pm a,\pm b,...} - \Psi_{\pm a,\pm b,...}(n+1) + \text{校正项} $，其中 $ Z $-值为常数，$ \Psi $-函数处理解析性。
• 通过分离发散部分与收敛部分，系统处理索引中包含混合符号的和，包括 $ S_{a,-b,c}(n) $、$ S_{-a,b,-c}(n) $ 及更高阶组合。
• 利用递推关系和调和和的已知恒等式，将延拓表达为接近原始MVV（Moch-Vermaseren-Vogt）表示的形式。
• 通过验证：在 $ n=1 $ 处以及偶数/奇数整数矩时，延拓结果退化为已知结果，以确保一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Mellin矩的解析延拓从简单的嵌套和扩展至NNLO QCD计算中出现的更复杂结构？
• RQ2 对于任意复数 $ n $（包括 $ n=1 $，这对求和规则至关重要），$ S_{a,-b,c}(n) $ 及类似和的解析形式是什么？
• RQ3 是否可以使异常维数的 $ n $-空间表示对所有复数 $ n $ 有效，而不仅限于偶数或奇数整数？
• RQ4 如何系统地利用zeta函数和多伽马函数推导出具有混合符号索引的嵌套和的延拓？
• RQ5 何种精确结构的解析延拓能够保持原始MVV表达式的形式，同时确保收敛性和解析性？

主要发现

• 对于 $ S_{-a,-b,...}(n) $，其解析延拓为 $ \overline{S}_{-a,-b,...}^{+}(n) = Z_{-a,-b,...} - \Psi_{a,-b,...}(n+1) + Z_{-b,...} \bigl[ \Psi_a(n+1) - \Psi_{-a}(n+1) \bigr] $，适用于复数 $ n $。
• 对于 $ S_{a,-b,...}(n) $，其延拓为 $ \overline{S}_{a,-b,...}^{+}(n) = Z_{a,-b,...} - \Psi_{-a,-b,...}(n+1) + Z_{-b,...} \bigl[ \Psi_{-a}(n+1) - \Psi_a(n+1) \bigr] $，确保在 $ n=1 $ 处的解析性。
• 对更高阶和如 $ S_{a,-b,-c}(n) $ 和 $ S_{-a,-b,-c}(n) $ 的延拓，以 $ \Psi $-函数和zeta常数表示，具体表达式见式 (B11)-(B14)。
• 结果在 $ n=1 $ 处与已知求和规则一致，实现了对 $ F_2 $ 和 $ F_3 $ 结构函数矩的精确计算，无需依赖数值积分。
• 该方法保持了原始MVV表达式的形式，可直接用于基于 $ n $-空间DGLAP方程的全局拟合与演化程序。
• 该延拓对所有实数和复数 $ n $ 有效，适用于Regge型渐近行为和 $ \mathcal{N}=4 $ SYM 理论中的应用。