[论文解读] Analytic cyclic cohomology

Ralf Meyer|ArXiv.org|Jun 29, 1999

Advanced Operator Algebra Research被引用 50

一句话总结

本文提出了一种基于完备赋权代数的分析循环上同调新框架，使得无需任何可 summability 条件即可构造弗雷德霍姆模的陈-康内斯示性类。证明了整体循环上同调中的消去性定理，并建立了一种变体整体循环上同调，通过上链的整函数增长条件容纳无限维上同调贡献。

ABSTRACT

We prove excision in entire and periodic cyclic cohomology and construct a Chern-Connes character for Fredholm modules over a C*-algebra without summability restrictions, taking values in a variant of Connes's entire cyclic cohomology. Before these results can be obtained, we have to sort out some fundamental questions about the class of algebras on which to define entire cyclic cohomology. The right domain of definition for entire cyclic cohomology is the category of complete bornological algebras. For these algebras, we define a bivariant cohomology theory, called analytic cyclic cohomology, that contains Connes's entire cyclic cohomology as a special case. The definition of analytic cyclic cohomology is based on the Cuntz-Quillen approach to cyclic cohomology theories using tensor algebras and X-complexes. The appropriate completion of the tensor algebra that yields analytic cyclic cohomology can be understood using an appropriate notion of analytic nilpotence. In addition, we develop the elementary theory of analytic cyclic cohomology (smooth homotopy invariance, stability, Chern character in K-theory).

研究动机与目标

• 将陈-康内斯示性类扩展至无需有限可求和或 θ-可求和条件的弗雷德霍姆模。
• 为具有有界线性截面的代数证明整体循环上同调中的消去性定理。
• 通过上链在有界集或紧集上的整函数增长条件，定义整体循环上同调的一种变体。
• 利用赋权张量代数与 X-复形，为周期性与分析循环上同调提供同调框架。
• 在分析设定下推广古德伊尔定理及循环上同调的同伦不变性。

提出的方法

• 使用完备赋权向量空间定义分析张量代数与分析幂零代数。
• 构造分析张量代数 T(A) 的 X-复形，以函子性方式定义分析循环上同调。
• 应用赋权收敛性与完成张量积，确保算子的有界性与连续性。
• 引入 X-复形边界 ∂ 与算子 P、H 和 κ，以分解 Hochschild 复形并定义循环结构。
• 采用多项式构造 f_n(κ²) 与 g_n(κ²)，定义在分析赋权下有界的投影与同伦。
• 利用算子的等度有界族与谱估计，将 P 与 H 延拓至完成的分析模 Ω_an A。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在无 summability 假设下为所有弗雷德霍姆模定义陈-康内斯示性类？
• RQ2 对于具有有界线性截面的扩张，整体循环上同调中的消去性是否成立？
• RQ3 如何将整体循环上同调推广以包含无限维贡献？
• RQ4 赋权结构在定义分析循环上同调中起什么作用？
• RQ5 X-复形上的算子 P 与 H 如何与 Karoubi 算子及 Hodge 滤子结构相关联？

主要发现

• 本文在无任何 summability 条件下，为弗雷德霍姆模在 K-同调中构造了陈-康内斯示性类，扩展了经典理论。
• 证明了具有有界线性截面的扩张在整体循环上同调中满足消去性，从而得到一个六项正合序列。
• 通过仅在有界或紧子集上要求整函数增长，定义了一种整体循环上同调的变体，其上链比经典定义更多。
• X-复形上的算子 P 与 H 在分析赋权下有界，从而可延拓至完成的分析模 Ω_an A。
• X-复形边界 ∂ 限制在 P 的像上，与 Karoubi 算子 δ 一致，确认了与循环结构的一致性。
• 证明了 T(A) 的 X-复形可计算分析循环上同调，且其同伦不变性通过绝对连续同伦得以确立。